SÉANCE DU 8 JUILLET 1912. 187 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation des intégra/es des équations 

 irréductibles du second ordre à points critiques fixes au moyen de la 

 théorie des équations linéaires. Note de M. Kené (iakniek, présentée par 

 M. Appell. 



Je me propose, dans cette Note, d'appliquer aux équations irréductibles 

 du second ordre à points critiques fixes les conclusions de mes Notes pré- 

 cédentes ('). Je rappellerai d'al)ord des résultais connus (-). 



i. Considérons l'équation différentielle linéaire 



^ „ ^ \ d-Y a I) c d .^ 



(Evi) - :77? = :::î + 7-:-^Tïï + 7T — m + rrrrrrr + 



y dx"^ x-^ {x — \Y {x-lf x{x — \) 4(J^ — >■)' 



x{x — I ) ( j;' — t) x{x — \){x — \) 



et proposons-nous de choisir pour les coefficients de celle équation des 

 fonctions du paramètre / telles que le groupe de monodromie (G) de (Ey,) 

 soit indépendant de /. On sait que «, /», c, d doivent être indépendants de /, 



que a et j3 s'expriment en fonctions rationnelles de À et -r-, \ satisfaisant à 



l'équation irréductible 



dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes. Inversement, on peut 

 donc écrire l'intégrale générale de (VI) en expriinantque le groupe de (VI) 

 est un groupe donné (G); à cet effet, on écrira que les substitutions de (G), 

 correspondant à des lacets convenablement choisis, ont des valeurs données. 

 On obtient donc, à l'aide de la variable auxiliaire .r-, une représentation de 

 l'intégrale de (VI) complèlemenl analogue à celle de la fonction liypergéo- 

 métrique, par exemple au moyen d'intégrales définies. 



D'autre part, M. Painlevé a montré ('-) que l'équation (VI) reproduit, 

 par dégénérescence, les cinq équations irréductibles du second ordre 

 (V, ..., I), dont l'intégrale a ses points critiques fixes et, à chacune de 



(') Comptes rendus, t. loi, p. 1208 et i335. 



(') Cf. mon Mémoire, Ann. se. Ec. Norm. sitp., Z" série, l. XXIX, 1912. Voir 

 aussi le Mémoire remarquable de M. Schlesixger, Journ. f. reine und ang. Math., 

 l. 141, 1912, p. 96. 



