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ces dégénérescences, on peut associer, comme je l'ai indiqué ('), une dégé- 

 nérescence analogue de (Ev,). On est donc naturellement conduit à se poser 

 le problème suivant : 



Lorsque (Ey,) dégénère en l'une des équations (Ey, . . ., E,) les formules qui 

 représentent, comme il l'ient d'être dit, l'intégrale générale de (VI) tendent- 

 elles ivrs des limites? Ces formules limites représentent-elles l'intégrale générale 

 de l'équation irréductible (V, . . ., I) associée « (Ey, ...,£,)? Et peut-on alors 

 les obtenir en partant directement de (Ey, . . . , E, ) sans remonter à ( Ey,) ? 



Je signale la profonde difficulté de ce problème. Les dégénérescences 

 successives de (Ey,) en (Ey, ..., E,) ont pour clVet de faire coïncider les 

 points singuliers de (Ey,) et, par conséquent, de réduire à 3 ou à oie nombre 

 des paramètres de (G); par suite, si les é(iuations (V, ..., I) admettent 

 pour leurs intégrales des représentations analogues à celle de (VI), il ne 

 suj/il pas, pour les obtenir, d'écrire que le groupe de l'équation linéaire cor- 

 respondante est un groupe r/o/2«e (indépendant de t). D'autre part, les dégé- 

 nérescences précédentes introduisent dans les équations (Ey, ..., E,) des 

 singularités iirégulières (jui en compliquent sérieusement l'étude. Néan- 

 moins, en m'appuyant sur les résultats de mes Notes précédentes, j'ai réussi 

 à montrer que le problème qui vient d'être posé se résout par l'affirmative 

 dans le cas des équations (V) et (III), les seules que j'aie étudiées jusqu'ici. 

 J'indiquerai brièvement la conclusion que j'ai obtenue (^). 



Considérons d'abord les équations (Ej,,) et (III); soient x„ un point 

 quelconcjue (r„:^ o, i, ce), (Y,, Yo) un système fondamental de (Ey) défini 

 par les conditions initiales Y,(.ro) = i = Yl/.r,,), Y'^ (a-^) = o = Y2(a'u), 

 et soient 8"^', = A Y, -h BY^, SYo = CY, + DY^ la substitution subie par 

 le système quand x décrit un lacet d'origine .t,, autour du point a;=i, 

 et a, b, c, d les coefficients de la substitution analogue pourle point ar = o. 

 Enfin, soit co,(a:'„) la valeur en Tj, de la dérivée logaritlnnique de l'inté- 

 grale V], de { l\), qui tend vers i lorscjue .r tend vers i en suivant un cbemin 

 qui reste à l'intérieur d'un angle déterminé (aussi voisin de tt qu'on le 

 veut). L'équation (V) possède les intégrales premières suivantes : 



A + D = consl. et „ , ,^ 7-^-! -r-^, = consl. 



B + (D — A) lu, — L(i), 



(') Ann. se. Kc. Norrn. sup., 1912, p. 5i. 



(') Afin il'afiopter des notations conformes à celles des Notes précédentes, j'ai 

 remplacé les é(]iiations (Ey) et (Em) par les équations (E,',,) et ( Ey ) qui s'en déduisent 

 à l'aide de transfonnalions simples effectuées sur y, {y,\i-y). 



