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étudie les transformations d'une manière générale, en supposant que l'équa- 

 tion en S ( correspondante à deux ou trois variables) admet des racines 

 quelconques, excepté le cas où les racines sont nulle» ou de modules égaux 

 à I, et pour lesquelles sa méthode est en défaut. 



Les transformations qui font l'objet de mon travail n'ont pas été envisa- 

 gées par M. Lattes, car l'équation S correspondante admet des racines de 

 modules égaux à i . Dans la première Partie je m'occupe des transformations 

 ponctuelles réciproques à deux variables. Une transformation 



est réciproque, si les fonctions x el y définies par le même système sont 



•2"=/(-ï'i,ri), y = ?(■'•., 7i)- 



On trouve que si le système (i) est réciproque : i" La transformation admet 

 une courbe de points doubles ; 2° En tous les points de cette courbe, r équation 

 en S admet une racine égale à i et une autre ègrde à — i. Je démontre 

 ensuite que ces conditions nécessaires sont suffisantes. 



Je termine cette Partie, en donnant les équations générales d'une courbe 

 invariante passant par un point double ; comme application je détermine 

 les courbes anallagmatiques. 



Dans la deuxième Partie, j'étudie les ti'ansformations par contacts, soit 



(2) .f,=:/(x, v,/), y, = 9(x,y,y), y, = 6(x,j,7'), /=^' 7l = ^' 

 une transformation par contact donnée, où nous avons posé 



c^cp dv> , do 



dx dy ùy' 



et qui se ramène à la transformation ponctuelle à trois variables 



en posant 



y = *« y \^^ ^\i 



et en regardant z comme une variable indépendante de a? et j et s, de x^ 

 etj',. Je démontre que si la transformation (2) ou (3) est récipro(jue : 

 1° Elle admet une courbe de points doubles ; 2" En tous les points de cette 



