422 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Remarquons tout d'abord qu'on peut avoir p ^= -2 (Severi, Atti Ist. 

 Veneto, 1907), et supposons/; > 2. 



Je pars d'un système | c|, de genre ii et de degré n^= itz — 2, sur F, 

 invariant pour T (ce qui est toujours possible). A une courbe C corres- 

 pond sur $ une courbe F, de genre effectif -n, dolée de (^; — i) (-n — i) 

 points doubles, et par conséquent de genre virtuel p {■:: — \) -\- i . Le sys- 

 tème I r I peut être pris comme système des sections byperplancs de <I>. 

 Cette surface a alors le degré 2/) (tc — i) et est située dans un espace à 

 /j(Tr — i) + I dimensions. Au système | Y \ correspond sur F un système 

 (incomplet) | D |, de genre iz —p^(T^ — i) + i et de degré N = 2yj'-(T; — i). 

 Ona|D \ = \p.C\. 



Sur <I>, il y a un certain nombre, fini, .^■, de points de diramalion. Je dé- 

 montre qu'en un de ces points tl» a certainement un point double. Soit // 

 le nombre dont un pareil point double abaisse la classe de <I>, soit i l'abais- 

 sement produit sur le genre d'une courbe D assujettie à la seule condition 

 de passer par nw point de coïncidence sur F. Par la formule de Zeutben, on 



voit qu'on a c = i ou j = -(/)-i-i). 



La considération de l'invariant de Zeuthen-Segre donne alors 



x{ijIi - /) = 24(/3— 1), 



Si i —\, on a nécessairement (yk entier positif) 



2/, — I; . 



iti — kp 



Si i = -(p+ i), on a 



, 06— k{p -h- 1) ,_ , 



/( =: - — -. — ^ , a; = 48 — kp. 



96 — ikp 



Je démontre que la transformation T ne peut pas donner, dans le voisi- 

 nage d'un point de coïncidence P sur F, la transformation identique 

 {p^ 2) (le contraire a lieu pour/> = 2, d'après Severi). Je construis alors 

 un système linéaire contenu dans I D |, dont la courbe générique possède 

 en P un point />-uple ordinaire. J'en déduis, au moyen de la formule de 

 Zeutben, qu'on a // :=J3, et qu'en un point de diramation $ a une singu- 

 larité composée d'une succession de -(/; — i) points doubles et d'un point 

 simple infiniment voisins. 



