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satisfaire à réquation (') 



iisin'-ii\x tj /i' su\- II' \s' t' J 



OU, en désigiianl par J' = ^ sin «,:; = / sin «, y' ^ s' siii ii', z' = t' sin a' les 

 dislances à l'axe des points considérés, 



ST :S"r=ny: -.n'y'i'. 

 On aura de même, avec des notations évidentes : 



S, T, : s; t; = « j, c, : n'y\ :\ , 

 S,T : S;T' =ny,: : n'j[:\ 



S T, : S' T', = ny -j : 'l' y' -'i ; 

 l'élimination des distances à l'axe coiiduil à la relation 



(i) ST X s,T, : s,T X ST,=:S'T'x s;ï; : s;t'x s't;. 



Si, d'autre part, on applicjue, au même système de quatre couples de 

 points, le théorème de Fermât, on obtient aisément 



(2) /4(S,t + st,)-(St + s,t,)] = «'|(S',t' + s'T',)-(S'T'-+-s;t',)]. 



Or on peut évaluer les lignes de l'espace objet en fonction de SS, = a, 

 de TT, = T, du segment [7., qui joint le milieu de SS, au milieu de TT, et 

 des angles a, h (|ue fait la droite \i. avec les perpendiculaires à SS,, TT, ; 

 les carrés des longueurs s'expriment exactement, on explicitera les lon- 

 gueurs elles-mêmes en ne conservant que les termes du deuxième ordre ; 

 on aura 



S T =; u sin i ^ - siii« H ( — cos b cos« ) > 



'2 2 2/J.\2 2 / 



c- rn T . , 0- . 1 /t , ff \' 



S, 1 == u. sin il -I — sin a H [ - co^O -\ — cos a > 



'2 2 2 F- \ ' '^ J 



S Ti=raH sini sin a H ( - cos^ H coso ) > 



'2 2 2 p. \ 2 2 y 



c r„ ~ . , <J . I /z a 



bi 1 1 ^ w H sin ij ~\ — sinrt H coso cosrt 



'2 2 2 /jL \ 2 2 



et quatre égalités analogues dans l'espace image. Si l'on substitue ces 



(') Comple.f rendus, lo juillet 1911, |>. 91). 



