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M. le Pkésime.nt de la Commission dikkctkici': nv Cemke piiaiimaceutique 

 DE i,'Urii«uay adresse à l'AcacliMiiie Texpression de ses condoléances à 

 roccasion du décès de M. //. Poincaré. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la sommabili lé d'une fonction dont la série 

 de Fourier est donnée . Note de M. W.-II. Voung. 



I. Le ihéorènie démontré dans la présente Note est une extension du 

 théorème réciproque à celui de Parseval. Pour l'obtenir, j'ai utilisé la 

 génération de ce théorème même que j'ai déjà donnée (^Comptes rendus, 

 t. 155, p. 3o) : 



Si la série 



(A) ^\a„ '■ + /.„ '' 



est convergente, p étant un entier impair, la fonction f(.c), dont la série fie 

 Fourier est - a „-i-^ ((i„ cos nx -h h„s\n n y), est telle que f'^ p est sommable. 



n = I 



Supposons jB = 3. Un raisonnement tout à fait analogue s'appli(juc au 



cas/)_> 3. 



11 s'agit seulement de démontrer que/(/) ^(^)estsommable, quelle que 



' + - . 

 soit la fonction positive ij'(<), pourvu (pie g '' soit sommable. 



Posons à cet effet 



g(x) 1^ - An -H N^( A,| co%nx 4- B„ sin/i .<), 



n — \ 



l 



où g' est sommable. D'après la Note déjà signalée, on aura 



(H) -f g{t + .r),^(l)cll.^-Kl+y{\l-i-l\lY 



et aussi 



(C) -/ J\l + x)i;(l)iltr^ -a,^^ 



+ \[(c'„A„+ i„l{„)cos/(,r — a„V,„— A„ A„(siii //.*■•) |. 



