474 



et, par suilo, 



(2) 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



,(" 



„A„+ />„B„) - - / /■ 



(O A-, (/)'/' 



- rto( Ao - A,..„) 4-^ [fl„ ( A„ — A,.,„ )+ b„( B„ — !{,.,„ )] 

 1 = 1 



t'2c + c,^{\a„\ + \b„)\<Ze 



n— 1 



{il ''kl '•,,). 



/■'^ désignant un entier convenablement choisi. 



4. Si ^^ et par suite ^^ s'annulent partout où /' est négative,/ (/)o-^ (^) 

 est une fonction non décroissante de i\ Dans ce cas / /(t)g(t)dt existe, 

 d'après (2). On voit par là que/, (l ) g(t) est sonnmable, quelle que soit la 



fonction §•, pourvu qu'elle soit positive et g '' sommable, y, étant la fonc- 

 tion égale à /"quandy est positive et égale à zéro ailleurs. On voit de même 

 que /^(/)g(/) est sommable, où /=_/■, —/o. Donc finalement /(/):,'•(/) 

 est sommable. 



.5. Notre proposition peut être vérifiée par voie algébrique. Prenons le 

 cas où Vf/^ est convergente. Nous n'avons qu'à démontrer la convergence 



11 = 1 

 de la série 



(? -t- (7 



>j, -r 1.2 



OÙ C,, C^, ... sont les coefficients de la série de Fouricr de Z^. 



Supposons pour abréger (picy est une fonction paire, et désignons par 



A,-,„= -(f'rin-^ '''r~7i) 1^ Coefficient de cos r.r dans la série de Fourier 

 def(x) cos nx. On trouvera 



C„= rt,A,,„+ fl.As,,,-)- 



Or il est aisé d'établir l'inégalité suivante 



IH-/<ltl + 7l 



2'"' ""'"" 2(2" 



r/{\+p\ /) Il H- (/ I 



1 1 - /'v ' / v-i \ " - /"/ 1 

 1+/, ) ( V ,.n-'/ 



(o2", o£c, /v/ < i); 



d'où, posant « = |rt^|, v =\ Ar„|, /> = y = ^ , 



<^^<'S<S«'a; 



