578 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ 



, dx, „ cl"x,i 



a-, = 



dl ' ' ^"- dt- 



Considérons aussi le groupe inlini (X) des transformations ponctuelles 

 de.T,, ...,x„ ; étendons ce groupe aux variables x',, ...,a?", ainsi qu'aux 

 variations ex, ...,ox"\ étendons encore ce groupe à la fonction précé- 

 dente F (supposée ï'/îCflr/va/iZe) et à ses dérivées; le groupe ainsi obtenu s'ap- 

 pellera le groupe (X'). 



On a l'identité 



ÔF = DF-+- 4-D'F, 

 dt 



OU 



I ^ , , d" 



DF^2-^- F.,-^F.;-H... + (-.)«i^F,;. ô^. = 2^( 



[S)ÛXs 



>-..a-{ 



et où D'F est une expression différentielle linéaire en Zx^, . . ., oaj 



Nous remarquons que DF et D'F sont deux invariants du groupe (X'). 

 De D'F on peut déduire un invariant intégral 1 an-uple du groupe (X') : 

 le multiplicateur (de Jacobi) ainsi obtenu est la a'*""" puissance du hessien H 

 de F rapport à x"'^, . . ., a?". Il en résulte que la racine carrée de H est un 

 multiplicateur du groupe (X), c'csl-à-dire un invariant (au sens algé- 

 brique). Ce dernier résultat se retrouve en remarquant que la forme mulli- 

 linéaire 



n n 



1 I 



est un invariant Au groupe (X'). De cette forme quadratique invariante on 

 pourra déduire d'autres invariants ; par exemple, une généralisation du 

 paramètre difterentiel de Lamé. 



II. Supposons maintenantque / F (a?, , ...,x,„ . . ., x", . . ., x") dt ait la 



forme paramétrique (Weierstrass) ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il 

 suffit que l'intégrale précédente soit un invariant intégral i-uple du groupe 

 infini (T') des transformations ponctuelles de t, ce groupe étant étendu aux 

 invariants .r,, . . ., x„ et à leurs dérivées ('). 



(') S'il y avait plusieurs variables indépendantes /,, ..., /,,, la condition nécessaire 

 el suffisante s'exprimerait de la même manière, à cela près qu'au lieu de i-uple, il 

 f.iudriiit ij-iiple. 



