SÉANCE DU 23 SEPTEMBRE 1912. 679 



On aura alors les identités 



(1) II^o 



et 



n 



(2) 2.<(s).r;=o. 



1 



III. Supposons, en outre, que n = 2 et représentons par .r ely les deux 

 variables a-, et x.^. L'identité (i) nous fait remarquer que 



^ XX" __ * X"r'' * y" y" 



F, est cogrédient au carré d'un multiplicateur à\i groupe (X). 

 L'identité (2) nous fait remarquer que 



y --^'~ ' 



T est cogrédient à un multiplicateur du groupe (X). 



Il en résulte que 



T 



n 



est un invariant du groupe (X). 



A cet invariant appliquons l'opération D du n° I : nous obtenons ainsi 



un nouvel invariant linéaire en ùx et f^jY:, remplaçons, dans celui-ci, oa; et v 



F » F /. , . 



respectivement par les quantités cogrédientes ^ et H ^ ; nous obtien- 



Fî Fï 



drons un nouvel invariant (iîni), que nous désignerons par la lettre L. 



La même méthode, appliquée à L, fournira un autre invariant, et ainsi 

 de suite. 



IV. Si, en particulier, nous supposons a^^i, nous retrouvons, d'une 

 manière directe, simple et générale^ les invariants déjà connus ('); remar- 

 quons que p, n'est autre que l'invariant K de M. Underhill. 



Ces invariants jouent un rôle fondamental dans l'étude des variations 

 première et seconde de l F {x,y,x',y')dt; la méthode suivie dans cette 



(') A.-L. Underhill, Invariants of ttie Functioa F (j, j, j './') in llie Calculus 

 of Variations ( Trans. of the Americ. Math. Society, vol. IX, n° 3, july 1908). — 

 O. BoLZA, Vorlesiingen iiher Varialionsrechnung, Leipzig-Berlin. 1908 el 1909, 

 p. 228 el 343. 



C. R., 1912, 2' Semestre. (T. 155, N° 13.) 77 



