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Note montre qu'il en sera de même pour les variations première et seconde 



de f'V{.v,Y, ...,x",y")(ll. 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur F absolue convergence des séries trigo- 

 noniétriques. Note de M. N. Lrsix, présentée par M. Appell. 



La lecture de la Note de M. Denjoy (Comptes rendus, 8 juillet 191 '-i) 

 m'a inspiré l'idée de résumer ici les résultats sur la convergence des séries 

 trij^oiioméuiques déjà publiés par moi en russe dans le Recueil de la Société 

 jnathéinatique de Moscou {l. XXYIII, 3-24 février 191 2), dans le Mémoire 

 intitulé : Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques. 



Je me permets d'abord de reproduire une démonstration du tliéorème 

 général, qui me paraît plus simple que celle de M. Denjoy. 



Théorème. — Si une série trigonométrique — + "^ r/„ cos nx + è„ sin nx 



n — \ 



est absolument convergente pour tous les points x d'un ensemble de mesure 

 non nulle, les deux séries > \a„\ et y \b„\ sont convergentes en même 



n=l « = 1 



temps. 



as 



Soit, en effet, la série — -+- V p„ lcos(n,r -+- a„)|, p„ = \;al -+- b^ con- 



vergente pour tous les points x d'un ensemble E ayant la mesure non nulle. 

 D'après un tliéorème important de M. Egoroff {Comptes rendus, 3o jan- 

 vier 191 1), il existe un ensemble P parfait et non dense et jouissant des 

 propriétés suivantes : ^ 



1° La série ^^ -f- 7 p„ |cos (nx -+- a„)| converge uniformément pour cet 



«=1 

 ensemble P; 



2" La mesure de P est non nulle ( soit Mes. P =^p >■ o). 



Désignons par S (a;) la somme de la série. On voit bien (jue pour cet 

 ensemble P on peut écrire, les intégrales étant prises au sens de 

 M. Lebesgue, 



30 



/ S{a;)da:= ° ' /> + "S p„ f |cos(/ia-+ 3î„) \d.v. 



