SÉANCE DU 23 SEPTEMBRE 1912. n8l 



D'autre part, on a toujours 



/ I cos{na- -h a„) | djc i — sin ^ ( « ^ i, 2, 3, . . .). 



Par conséquent, 



y p„i — ' — / s(a-) d.c. 



/.= 1 — Mll-i- ' 



"=1 ., 



2 b 



Donc la série y p„ est convergente (c.q.k.d. ). 



On peut de plus montrer que la présence de points de convergence 

 absolue everce une influence considérable sur la convergence non absolue 

 d'une série trigonométrique. 



D'abord, suivant M. Fatou {Acla mcUhematica^ t. X\X, p. ^98), les 

 points de convergence, de divergence et de convergence absolue sont deux 

 à deux symétriques par rapport aux points de convergence absolue. 



D'autre part, on s'assure facilement que tout ensemble mesurable de 

 points situés sur le segment (0,2- ) et ayant une infinité de points desymé- 

 trie est ou de mesure o, ou de mesiu-e 27:. 



JNous trouvons ainsi ce tbéorème général : 



Toute série trigonométrique ayant dans l'intervalle (0,2?:) un ensemble 

 dénombrable de points de convergence absolue est ou partout convergente ou 

 partout divergente, sauf peut-être les points d'un ensemble de mesure nulle. 



Si la série a deux points de convergence absolue dont la différence des 

 arguments est incommensurable à -, on en déduira l'existence de tels points 

 dans tout intervalle. Comme consécjuence nous obtiendrons : 



Toute série trigonométrique ayant deu\ points de convergence absolue dont 

 la distance est incommensurable à t., est ou partout convergente ou partout 

 divergente, sauf peut-être les points d'un ensemble de mesure nulle. 



Par exemple, on voit bien que la série V /'«sin 2"jf a toujours l'ensemble 



71= 1 



dinombrable de points de convergence absolue. 

 Par conséquent : 



Il existe des séries trigonomélriques incomplètes qui sont, quels que soient 

 leurs coefficients, ou partout convergentes ou partout divergentes, sauf peut-être 

 les points d' un ensemble de mesure nulle. 



