636 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les caractéristiques simples des équations 

 aux dérivées partielles en deu.v variables. Noie de M. Gustave Sannia. 



Étant donnée une équation aux dérivées partielles d'ordre n 



F(.r, r, Z\ /J,o, /'ol, . • -, Pno^ ■ ■■, Po,l)~0, 



où 



(,) /,,,= ^1^ (,-+A==.,2. 3, ...), 



supposons que le système de fonctions 



(2) y, --, p,/, ((• + A' = 1 , 2, ...,«) 



de la variable x- soit une caractéristique simple C„ d'ordre u de Tcquation. 

 C„ est contenue dans une infinité de caractéristiques C„+|, C„+2) • •■i d'ordre 

 n -hi, 71 + 2, ..., qui se forment en ajoutant au\ fonctions (2) de nou- 

 velles fonctions de x convenablement choisies : 



{^) { /'/; + 2,0i Pli t-l,ti ••■• Po,n + i'j 



En particulier, ces fonctions doivent satisfaire aux relations 



dz =/J,„ d.r + pn dy, (Ipn, — Pi+\,k dx -\- /),,/,_,., dy 



qui donnent 



(4) /''>-'--"=l(-')'-b7 Z7 +( -') ,77) /'"■- 



/( 



et par conséquent déterminent toutes les fonctions du Tableau (3^, lorsque 



(■^) f^O,n+l> Po.tHÎJ /'o,«4-3! ••• 



sont connues. 



Jus(}u'ici, dans la formation des équations (|ui déterminent les fonc- 

 tions (5), on n'a jamais achevé les calculs, mais on s'est toujours arrêté à la 

 constatation qu'elles sont des équations différentielles ordinaires du premier 

 ordre. Les propriétés des C„ qui se dc'duisenl de ce fait sont bien connues ('). 

 Mais il y en a d'autres très remarquables. 



(') Cf. GdliusAT, Leçons sur V inlé^ration des é(]ua(i<)fts aux dérivées jia/licl/''s du 

 second ordre, Cliap. X, Paiis, i8y8. 



