SÉANCE DU 7 OCTOBRE l(jI2. 63; 



Eli effet, poussant plus loin les calculs, j'ai vu que l'équation qui déur- 

 inine p„n+^ a la forme de Riccati 



et que les autres sont linéaires par rapport à la fonction inconnue 



Les propriétés bien connues de ces équations nous donnent des propriétés 

 nouvelles des C„ : 



1° Si l'on connaît uncC,,,^ qui contient une il,, donnée, on peut calculer 

 toutes les autres par des quadratures ; si l'on en connaît deuv, on peut cal- 

 culer toutes les autres sans aucune intégration. 



1° Si C,J^^|, C„^,, C',+ |, (j,',\., sont quatre caractéristiques qui contiennent 

 une C„ donnée, tous les rapports anharmoniques 



{P,\n-i+u P',,,i-, + i, />"/,„ , + n /'',",, -,+ 1 ) (/= O, I, 2, n + l) 



ont une même valeur constante tout le long de C„ ('). 



"5" Les caractéristiques C,,^^, C„^_2,... qui contiennent une (_1„ donnée, se 

 déterminent par des quadratures. 



Supposons, en particulier, que réqualion (i) soit du premier ordre 



(i') F(.r,j. 5, /), y) = o, 



OU 



ôz Oz <Pz (V-z d'-z 



' à.r ' âf â.r- ()x dy dy- 



et soit 



j— y{^-)> z = z{x), p=p(x), q^q{x) 



(' ) lîn effet, la formule (4) nous apprend que les/>, „_,■_,_, sont des fondions linéaires 

 pt,„_i+i— a, + (3,7?o,«+i (« = o, I, . . ., /i + i); 



par consé(|uenl le rapport anharmonique de quatre fonctions po,n-n^ p'o.n+n P'o.n + i- 

 /^o.i+i 6*' ^B^' «"' rapport anliarinonique des fonctions correspondantes /),. „_,-(-i, 

 Pi^n—i+\^ p"i,„-i+u Pi n—i+i- Ce rapport est une fonction de a: qui se réduit à une cons- 

 tante, car les Po^n+ii ■ ■ ■ -, /''o,n+i sont quatre solutions d'une même équation de 

 Riccati. 



