SÉANCE DU 7 OCTOBRE I912. 63g 



admettant n-ho (p <[ n — «7) intégrales distinctes 



(•j) /il fit ■■■■ fi/-, Jq+11 •■•) Jn+f 



S. Lie a intégré les systèmes (i) et (2) moyennant une quadrature, 

 quand les intégrales (3) satisfaisaient à une certaine condition {Math. Ann., 

 t. XI, p. 469). J'avais remplacé cette dernière parla suivante 



n 



(4) d3 ='^psd.v„ 



en supposant que F égalité (4) devenait une différentielle exacte moyennant les 

 équations (i) et les n — q -h p équations obtenues en égalant les n—q-hp 

 dernières intégrales (3) à des constantes arbitraires a,, a.,, ..., «„ y+p. Il se 

 pose donc la question de savoir si cette dernière hypothèse ne diminue pas 

 la généralité de la résolution de S. Lie? 



Or on démontre aisément pour les équations (i), ainsi que quand ces 

 dernières dépendent explicitement de la fonction inconnue :; (voir 

 E. v.Weber, Vorlesungcn ûber das Pfaff'sc/ie Problem u. d. Théorie der par- 

 tiellen Differentialgleichungen,^. 54*i), que les intégrales qu'on obtientpour 

 le système linéaire correspondant sont les mêmes dans les deux hypothèses, 

 celle de S. Lie et la mienne. Il en résulte que la généralité du théorème de 

 S. Lie ne diminua point, ce dernier gagnant plus de simplicité, si l'on y 

 substitue, aux conditions compliquées de S. Lie, régalité usuelle (4) de la 

 théorie des équations partielles. 



Encore suffit-il de notre hypothèse, à elle seule, pour calculer l'intégrale 

 complète du système (1), sans profiter du système complet des intégrales 

 des équations (2) et en s'atTranchissant des considérations du groupe fonc- 

 tionnel des intégrales et iL' ses fonctions distinguées. Supposons, en effet, 

 que les équations, moyennant lesquelles l'égalité (4) devient une diffé- 

 rentielle exacte, nous donnent 



9{j:-,,.r2, . . .,.r„^p;«,,a,, . . .,rt„_^+p) -t- «, 



. ., J-„_p: a,, "s- • • ■• «n-v+p) («' = ", 2, . . ., p), 



.,a;„_p; (7|,rt,, . . ., rt„_,+p) (.$ = 1,2, . . .,n), 



a désignant une nouvelle constante arbitraire. En vertu de notre hypothèse, 

 il existe les identités 



1= 1 



C. R., 191Î, V Semestre. (T. 155, N° 15.) Bo 



