64o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



démontrant le théorème suivant : 



Les conditions nécessaires el suffisantes pour que le résultat d' éliminalion 

 de p constantes «„-,+,, ««-y+o, • • -, a„ ç+ç,du système (5), (G) fournisse Vinlé- 

 grale complète des équations (i), sont données par les formules 



(8) 



oii l'on a posé 



\^«— y-t-l ^rt— 17+2 ■ • -^n—q-k-pj 



L<,„_,^.= o, L„ > o, L„, > o, 

 (« = i,2, ...,p; A- = i,2, . . ., /i — f/), 



(Jrts .^J ' i^ c'a,. 



Ce^ dernières conditions (8) e'^a/;^ satisfaites , les n .uinières intégrales (3) 

 sont eninvolulioti. 



Quelles que soient les intégra/es (3), il est t. m m s possible de satisfaire 

 aux conditions i^^) par l'introduction dans les ) oi'inules (5), (7) de nou- 

 velles constantes arbitraires désignant les valem s initiales des variables. 



Sans calculer les parenthèses de Poisson, les considérations développées 

 permettent de reconnaître si les intégrales (3) contiennent un système 

 de n intégrales en involution. En cas contraire, le calcul à effectuer, pour 

 obtenir l'intégrale complète du système (i), ne présente pas plus de diffi- 

 cultés que celui de la théorie des caractéristiques, tout en simplifiant Tap- 

 plicalion de cette dernière dans tous les cas satisfaisant aux conditions du 

 théorème énoncé. En effet, s'il s'agit d'intégrer un système normal quel- 

 conque, notre théorème dispense de pousser le calcul des intégrales du 

 système linéaire correspondant jusqu'à la recherche de leur système com- 

 plet, toutes les fois que les intégrales obtenues satisfont à notre hypo- 

 thèse relative à l'égalité ( '1). 11 est donc superflu, dans ce cas, de calculer 

 les autres intégrales par l'intégration, car le système complet des intégrales 

 du système linéaire s'obtient alors, soit sous forme canonique, à l'aide du 

 théorème de Jacobi généralisé (voir Comptes /r/ic^w^, 23 et 3o janvier et 

 24 juillet 1899), après avoir calculé l'intégrale complète, soit moyennant 

 les fonctions L,,^ qui sont analogues, aux fonctions U de la théorie des carac- 

 téristiques (voir Journal de M. Jordan, 1899, p. [\l\\ ; Comptes rendus, 

 i3juin i9ioet i3 février 191 1). 



