SÉANCE DU l4 OCTOBRE I912. 697 



voie, en partant du théorème bien connu suivant (') : En chaque point d'une 

 géodésique d'une surface développable, le rapport de la première à la 

 seconde courbure de cette ligne est égal à la tangente de son inclinaison sur 

 la génératrice correspondante de la surface. 



Comme cette génératrice est conjuguée à toutes les directions prises sur 

 le plan tangent, on est amené à penser qu'il doit exister, en chaque point 

 d'une surface quelconque, une relation entre l'angle a de deux directions 

 conjuguées et les éléments infinitésimaux des géodésiques tangentes à ces 

 directions. Pour trouver cette relation, on peut, sans restreindre la géné- 

 ralité du sujet, considérer sur la surface un système de coordonnées rectan- 

 gulaires, prendre les arêtes Mx et Mj du trièdre mobile tangentes aux 

 lignes (i') et (m), et calculer l'angle a pour les premières, qui sont efï'ecli- 

 vemenl des lignes quelconques. 



On obtient d'abord, avec les notations ordinaires, 



(') tang« = ^; 



puis, en utilisant les expressions des rotations données par M. Darboux au 

 paragraphe 507 de son Cours, on en déduit la formule 



T 



(2) langa = — > 



p« 



où l'on désigne par — et — la courbure normale et la torsion géodésique, 



évaluées suivant la tangente Mec à la ligne (<>). 



De là ce théorème : Si l'on considère, en tout point d'une surface quel- 

 conque, les deux géodésiques tangentes à deux directions conjuguées, le 

 rapport de la première à la seconde courbure a pour ces deux lignes la 

 même valeur, égale à la tangente de l'angle de ces directions. 



On reconnaît ici, en particulier, pour oc = - et a = o la propriété de la 



tension géodésique des lignes de courbure, et celle de la courbure normale 

 le long d'une asymptotique, propriétés qui sont ainsi reliées l'une à l'autre, 

 et comprises dans un même énoncé. 



Dans le cas d'une ligne géodésique, tracée sur une surface quelconque, 

 les éléments p„ et t^ étant égaux respectivement aux rayons de courbure et 



(') Paul Serret, Théorie des lignes à double courbure, p. iSg. 



