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de tension p et t de cette ligne, on a en chacun de ses points 



(3) lansa = -5 



P 



formule qui donne la généralisation du théorème, rappelé au début de cette 

 Note, sur les surfaces développabies. 



Elle entraîne aussi ce fait, établi directement par M. Darboux (t. III, 

 p. 335) : que l'angle des deux courbes conjuguées, qui se croisent en un 

 point de l'une des nappes de la développée d'une surface li, est égal à l'angle 

 que fait, au point correspondant de S, le plan osculateur de la ligne de 

 courbure associée avec le plan tangent de S. Cela tient à ce que, en tout 

 point d'une courbe quelconque, la tangente de l'angle du plan osculateur 

 avec une normale, qui enveloppe une développée de cette courbe, est égale 



au rapport ^ de la seconde à la première courbure de cette développée au 



point correspondant. 



Parmi les conséquences des formules (i>) et (3), je citerai les suivantes : 



Quand une surface admet pour géodésique une famille d'hélices, ces 

 courbes sont coupées par leurs conjuguées suivant un angle constant le long 

 de chacune d'elles, et variable en général de l'une à l'autre. 



Réciproquement, quaud uue surface admet une famille de géodésiques, 

 coupées par leurs conjuguées comme on vient de le dire, ces géodésiques 

 sont nécessairement des hélices. 



Ce théorème et sa réciproque résultent d'ailleurs immédiatement de la 

 dépendance géométrique, qui existe entre les surfaces admettant pour géo- 

 désiques une famille d'hélices et les surfaces à lignes de courbure planes 

 dans un système. On peut le généraliser en considérant, au lieu des lignes 

 géodésiques, des courbes telles que l'inclinaison du plan osculateur sur le 

 ])lan langent à la surface reste constante le long de chacune d'elles, tout en 

 [)ouvant varier de l'une à l'autre. 



Si l'on désigne par vn celle inclinaisou, ou n, en tenant conq)te de l'hypo- 

 thèse faite, 



(4) P'-=zé-^' '^e=~^ 



et l'on en déduit 



(5) tanga =r - sinci, 



P 



formules d'où résultent des théorèmes de même forme que les précédents. 



