SÉANCE DU l4 OCTOBRE 1912. 699 



OÙ seulement les géodésiques sont remplacées par les courbes plus géné- 

 rales, que nous venons de définir. 



On est ainsi amené à considérer des systèmes conjugués tels que les 

 courbes C d'une famille soient coupées par leurs Irajecloires suivant un 

 angle constant le long de chacune d'elles, et variable de l'une à l'autre. Il 

 existe évidemment une infinité de systèmes de ce genre sur une surface 

 quelconque, nous les désignerons par la lettre 1. J'ai étudié ce qui caracté- 

 rise la représentation sphérique de ces systèmes conjugués particuliers et 

 tâché de déterminer dans des cas très simples, comme suite à l'étude des 

 surfaces à lignes de courbure planes, des surfaces définies par une propriété 

 d'un de leurs systèmes a. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le principe de Diriclilel. 

 Note de M. Henui Lkbesgue, présentée par M. Emile Picard. 



Il s'agit de prouver l'existence d'une fonction harmonique V dans un 

 domaine fini donné D, continue dans D et sur sa frontière F et prenant 

 sur F des valeurs données. 



La méthode de M. Hilbert, sous sa première forme, consiste à prouver 

 qu'on peut trouver une suite de fonctions m,, continues dans D et sur F et 

 prenant sur F les valeurs données, qui soit niinisante pour l'intégrale 



^-HfM 



V (du 



■ \ôy 



iLrdy, 



c'est-à-dire telle que la suite des valeurs I (w,) tende vers la plus petite 

 limite possible d, et qui converge uniformément vers une fonction limite 

 qu'on démontre être la fonction V cherchée. 



On a modifié les considérations de M. Hilbert de bien des manières ; j'ai 

 moi-même publié un Mémoire sur ce sujet et je viens de m'apercevoir que, 

 convenablement interprété, un petit calcul de ce Mémoire conduisait très 

 rapidement au but. 



Soient î/,, u.,, ...; ;/, + »',, u.,-\- c^, ... deux suites minisantes. Le trinôme 

 en \ 



1 (/,+ ),.•, :=I«,-t- 2/. / / — ^ ^ + ^ -5^ Ux r/7 -t- AM r, 



J Ji,\'>-'-i d^i <)y àyj 



doit tendre vers la même valeur d pour X = o et i,| quand i augmente 

 indéfiniment, et il ne doit tendre vers un nombre plus petit que d pour 



0. H., 191a. 2" Semestre. (T. 155, N" 16.) 9^ 



