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aucune valeur de X ; donc il tend vers une constante, I (v^) tend vers zéro. 

 Or, supposons que, dans un domaine A intérieur à D, les »',- tendent 

 uniformément vers une fonction limite v ; alors v est nulle. Sinon, en effet, 

 il existerait une hunde y„'ly "S j, telle que toute parallèle à Ox, contenue 

 dans cette bande, rencontrerait A, et que, sur elle, le maximum de |i'| sur- 

 passerait un certain nombre positif as; alors, pour i assez grand, le maxi- 

 mum de ]t',] surpasserait £ sur chacune de ces parallèles. Désignons par 6(Y) 

 les segments de la droite j = Y qui sont contenus dans D et par L le maxi- 

 mum de la somme des longueurs de ces segments, quand Y varie entre /„ 

 et K, . On aurait, [)our «assez grand. 





£'( Vi — .Ko) 



puisque 1 1', I s'annulerait sur F et atteindrait sur chaque ensemble o (y) 

 une valeur supérieure à i. 



Donc v est idcnliquement nulle dans A et, en particulier, on voit que si 

 deux suites minisantcs convergent uniformément dans A elles convergent 

 vers la même limite. 



Soit C un cercle intérieur à D et soit ir, la fonction continue égale à w, à 

 l'extérieur de C et sur C et harmonique dans C. La suite des ir, est mini- 

 sante, car I (<»',) est au plus égal à l(u,). Si, comme on peut le supposer, 

 on a pris les | m, | inférieurs à une borne (i\e, les »•, sont également conver- 

 gentes dans tout domaine in h' rieur à i^, au sens étroit. De la suite des ne, on 

 peut donc extraire une suite partielle qui est, elle aussi, minisante et qui 

 converge uniformément à l'intérieur de C vers une limite (pii est néces- 

 sairement harmonique. 



Si C est un autre cercle, on obtient de même une fonction harmonique 

 dans C. Ces deux fonctions sont le prolongement l'une de l'autre ; cela est 

 évident, d'après ce qui précède, lorsque C et C ont une partie com- 

 mune et résulte, pour le cas général, de l'utilisation d'une suite de cercles 

 C, C,, C,, . . ., Cj„ C telle que chaque cercle ail une partie commune avec 

 celui qui le suit. 



On arrive ainsi à la conception d'une fonction V harmonique dans D qu'il 

 reste à étudier sur le contour F, ce que l'on peut faire par l'un quelconque 

 des procédés connus. L'un des plus simplesconsisle à supposer qu'on puisse 

 associera chaque point A de Fdeux fonctions barrières B[(x,y), Bl(x, j) 

 continues dans D et sur F, harmoniques dans D, respectivement plus petite 

 et plus grande en chaque point de F que la fonction donnée sur F et enfin 



