SÉANCE DU l4 OCTOBRE 1912. 709 



On s'assurera que la convergence des séries — résulte iminédialement de 

 l'examen des séries majorantes obtenues en faisant coïncider convenable- 

 ment toutes les images du système S, S' avec les deux points conjugués 

 réciproques, et appliquant la remarque suivante de M. G. Darboux : la dis- 

 tance des deux conjugués réciproques est plus petite que celle de deux 

 images quelconques. 



II. Les polynômes P:,„+i et Qo„+i, symétriques en a, b, sont identiques; 

 on calculera les P.„ et Qo„ soit par récurrence, soit à l'aide des P. „^, par les 

 relations 



' 2n ^^ J^rsn-l — "'^ 2«-2, V»"-— ~ ( ^2/1+1 ■+- t''P2n-l)- 



Les polynômes P et Q forment des suites de Sturm et les racines de 

 chacun d'eux sont comprises entre — (a -+- h) et + (a -+- />); les termes des 

 séries respectives 1 de F sont donc affectés du même signe. 



Il n'est que laborieux d'expliciter complètement Po/^+i, P-;, et Q^^, ; leurs 

 coefficients se présentent sous des formes remarquables. On utilise ces 

 formes pour calculer directement P et Q et contrôler ainsi les valeurs nu- 

 mériques obtenues par voie récurrente. 



III. 11 est naturel de chercher à expliciter dans F l'action plan-sphère et 

 d'effectuer, par suite, un changement de variable x = b + e, c désignant la 

 distance de A^ au pôle voisin de S'. Dans tout ce qui suit nous poserons 

 p = «;/ et H = I — 2 uz + z'-. 



Le changement de variable fournil 



P,p ^, = />/'+' al' Up -t- b>'aP+' A„_^, -(- />" -' «''+-2 ((/■— r ) I'.,, + bi--aP*''{it-—'i )- Cp_, +.... 



Ayant formé les premiers tableaux des polynômes eu u en nombie infini, 

 U, A, B, C on en tirera les résultats suivants : 



U. Ces polynômes, coefficients des puissances de z dans le dévelop- 

 pement de H ' sont tels que leurs carrés satisfont à la relation 



(i + =^)ll:l(i-.-=)(I-'=Vu^c=/'. car UJ,= ^U,„. 







Ces polynômes U (voir Comptes rendus, t. 155, p. i39 et io/\), inter- 

 viennent seuls dans le système plan-sphère, idiostatique par essence, car 



la capacité commune aux deux armatures en présence «^ U„' est égale et 



