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lie signe coiiliaire au coefficienl friiuliiclion réciproque Ju syslèiiie, le 

 plan étant d'abord au potentiel v. 



A. Ces polynômes répondent, en paiticulior, aux conditions 



(l) 2Af,= p\Jp—{p— l)l,l],,-,, 



au- au 



("'-')^7^ + ^"^— ^'(/' + 2)A,,r=/)(;. -I)U,,_2- 



Il résulte de (i) et de la définition des polynômes U que les A sont les 

 cocflicicnls des puissances de ? dans le développement de 



et qu'on a par suite 



(2) {p -Hl)Ap= 2hV,,_,-4- \p^,[(p — J)!,'-- (/' + !)], 



les V étant les fonctions spliériques de Heine concernant Il~-. 

 B. On trouve que 



n 



B,,^ 1=111 \'.,, — t^,,_ , + A ,, ^_, et B„ = ]^ A„ U„_p ; 



1 



par suite, les polynômes B sont les coefficients de :■ dans le développement 



de 



<h{z) = s {u — z) {i — u z)U-\ 



La relation entre trois fonctions spliériques consécutives d'ordre supé- 

 rieur répondant à II~* permet donc d'écrire que 



les W répondant à H~^ 



Ces résultats s'étendent immédiatement à tous les coefficients suivants, 

 /■, dans H~*, variant seulement de i à chaque transposition. 



On est ainsi conduit à mettre l\.p4_, sous la forme 



!'■>,> . 1 -^^ 0" "«/'II,,' + y bi-^-'-'-ai' '-'■-' («^ - !)'■--[-- (w - c ) (i — ,/;) II-'' 



Il I 3— /l 



OÙ les indices /j alp + 3 — k marquent les déférés des puissances de z dont 

 il faut former les coefficients. 



IV. Uneanalyse toute semhlableà la précédente fournit d'autres familles 

 de polynômes et d'autres relations, eu nombre infini, et conduit aux 



