SÉANCK DU 21 OCTOBRE I912. 76,^ 



Je me propose de démoiilrer les inégalilés ci-dessus par une voie entiè- 

 rement élémentaire. 



Pour cela, rappelons d'abord les formules suivantes 



(2) 9(a, a,)== -j-i— a,{a(, i)= — ^9(a). 



(3) o(a) = 9(. — a), 

 (,',) cp(a)z=|a|=o 



dont M. Landau ( ' ) a donné des démonslralions tout à fait élémentaires. 



Soit une quantité positive aussi petite que Ton veut; il existe une fonc- 

 tion analytique 



F ( a.- ) = a + j- -4- «2 J-- -+- . . . 4- rt„ .f" H- . . . 



holomorphe, ^ o et 3?^ I pour | a: | <| ^(a ) — 0. Alors 



v/f(2 \fy. .r) = v^â -h J- -t- «; -t-' + . . . + a',, •^" + • • • 

 est holomorphe, ^ o et jz^ i pour 1 <■ 1 < - — , ^-, > et il s'ensuit que 



^\^ , <y(v^), 



d'où, pour I a| ]> I, en faisant tendre vers zéro, 



9(a) ^ <p(v^) 



(5) 



\/a I liigy/sc 



Divisons le plan des a en quatre pailles : I, |x|>3; II, |a|<^-i;. 

 lll,|a- i|<i; IV,3>|«|>i,|a-i|>i. 

 Pour a appartenant à \S ^ on a 



(6) o(a)<C3, 



c.^ étant une constante numérique positive, ce qui résulte immédiatement 

 de rex|)ression donnée par M. Landau (-), dans sa démonstration élémen- 

 taire du théorème énoncé au début, pour la borne supérieure de R (a, c/,). 



(') Ueber den Picardscken Salz {Vierteljahrsschrift iler naliirforscitenden 

 Gesellscliafl in Zurich, l. LI, 1906, p. 252-3i8, § 6). 



(-) Ueber eine Verallgeineinerung des Picardscken Salzes {Silz-iingsbericlue 

 der Kôniglich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1904, p. iii8-ii33). 



