766 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour a appartenant à I, posons a = p^'", où nous déterminons l'entier 

 positif w de sorte que 3>JP|r^\/3. Par suite, ^ est intérieur à IV, et (5) 

 et (6) donnent 



^'' hlloyl^l = |?|log|?| ^v^3losv/3" " 



d'où, a fortiori, 



(8) cp(«)<c,(|^los|a|| + |{«-i)log|«-i||). 



Lors(juc y. fait partie de II, ~ apparlieiil à I, et (4) et (7) donnent 



9(a)<|a|'c-., 



loç 



('s. a lo" j. 



■de sorte que (8) est aussi valable dans II. 



Enfin, pour a intérieur à III, i — a appartient à II, et (3) fait voir que 

 (8) est encore valable dans III. De (6), (8) et (2), on tire maintenant la 

 première des inégalités (i). 



Pour établir la deuxième, observons que, pour a appartenant à IV, 



(9) 



?(«)> ^' 



comme nous apprend déjà l'exemple trivial F (a^) — a + x. D'autre part, 

 pour I 7. 1 ^ o et :^ I , la fonction 



loel al 



a I 



est bolomorphe, :^ o et :^ i pour | a- 1 <^ 7. log; 1 3t 1 , de sorte que, pour a 

 appartenant à I ou II, 



(10) 9(a)>| alog|3!||. 



La combinaison de (3 ), (10), (<)) cl (2J nous donne immédiatement la 

 deuxième inégalité (i). 



