SÉANCE DU 21 OCTOBRE 1912. 767 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de Stieltjes. Note 

 de M. George Polya, présenlée par M. Emile Picard. 



Soient A(a;), B(a;), C(.r) des polynômes, sans diviseur commun à tous 

 les trois, le degré de B(x-) étant inférieur au degré de K{x). Stieltjes (') a 

 établi par une application ingénieuse de la théorie élémentaire des maxima 

 une proposition de Heine (-), concernant l'existence de certains cas où 

 l'équation 



(I) A(.r)^+2B(.r)|^ + C(^-)v = o 



admet comme solution un polynôme et il a démontré la proposition sui- 

 vante : 



Si toutes les racines de A(a;) sont réelles, et si dans la formule 



A (a: ) j- — rt, . a^ — «2 a: — Up 



toutes les quantités p,, p^, ..., p^ sont positives, et si f{x) est un polynôme 

 qui vérifie l'équation (i), le plus petit intervalle, qui contient toutes les 

 racines de A(a7), contiendra aussi toutes les racines dey(a7). 



Par une généralisation immédiate du raisonnement de Stieltjes, on 

 obtient la proposition suivante, où Ton ne suppose rien sur la réalité des 

 racines de A(.'r) : 



■Si dans la formule (2) tous les nombres p, , p^, . . . , f^, sont positifs et f(x') 

 est un polynôme, solution de l'équation (i), le plus petit polygone convexe, 

 dans le plan des nombres complexes, qui contient toutes les racines de A(.x')) 

 contiendra aussi toutes les racines de f(x). Si toutes les racines de A(x) sont 

 situées sur la même droite, le polygone se réduit à un segment de droite; dans 

 tous les autres cas, si l'une des racines def(x) est située sur la frontière de ce 

 polygone, elle est forcément confondue avec une des racines de A (a). 



Cette proposition comprend celle de Stieltjes, comme une proposition 



(') J.-J. Stieltjes, Sur certains polynômes qui vérijient une équation différent 

 lielle, etc. {Acta niatheniatica, t. II, i88.5, p. 321-326). 



(*) E. Heixe, llandbuch der Kugelfunclionen, I (2" éd.), p. !\']i-!\-jG. 



C. R., i9i2,2« Semestre. (T. 155, N» 17.) I02 



