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connue de Gauss('), se rapportant à la position relative des racines d'un 

 polynôme et des racines de sa dérivée, comprend la conséquence immédiate 

 du théorème de RoUe suivant : 



Si /otites les racines d'un polynom': sont contenues dans un segment de droite, 

 toutes les racines de sa dérivée y sont contenues de même. 



La démonstration de la proposition énoncée est presque la môme que 

 celle du théorème de Gauss. Soient 



les racines 6.ef{x), chacune écrite avec sa multiplicité, et soit 



k{x)f'{.r) + 2 B(^.)/'(,i.) + C(.r)/(x) =r o. 



Si A (a;) a une racine z, différente de «,, a.,, ..., «^, on a B(^) = o; 

 r est une des quantités .r,, x.,, a-,, ..., .x„, car autrement h{x), \i{x), 

 C(.t) admettraient le diviseur commun x — z. 



Si Xi est une racine, qui rend A(a;,) = o, a?,- est certainement contenue 

 dans le plus petit polygone convexe, qui contient toutes les racines de A (x), 

 parce que a?,- est aussi une racine de A(a;). 



Si K{xi,) ^ o, on aura aussi f'{x) ^ o [car f{x) n'est pas identique- 

 ment zéro] et l'on obtient par division 



ou explicitement 



.H--^ 



En séparant le réel et l'imaginaire 



1 A— 1,A+1, ...,n 1... ,;' 



V 



V V 



1, .. ,A — l.A + 1. ...,« 1, .. ./» 



^ ( i<. — t.Y + ( -di — riv )- ^ 



K'C,^-i,,Y+{.Tik--(\;f ^ (4a— «v)'+(-OA— ?v)' 



(') Gauss, IFer/ie, III, 18GG, p. 1 12. — Voir Fiuér, Comptes rendus, 2" semestre 1907, 

 p. 459-461, et Mallienialische Annalen, t. L\V, 1907, p. 4i3-423. 



