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SÉANCE DU 21 OCTOBRE 1912. 769 



1 * - 1. A-+-I n 1, ...,p 



■n.,r- ^ a.. 



■n/c= 



V V 



1, .. ./— I.A + I,.. ,n 1, ...^ 



2 â 



V V 



Le pointa7;t= ^a+ '^i deviendra donc le centre de gravité (') des points 

 X,, X.2, ..., a7i_,, x^^.,, ..., J7„, a,, ..., «^, si les masses positives situées dans 

 ceux-ci sont choisies convenablement. Par conséquent, une droite quel- 

 conque, qui passe par a;;^, si elle ne passe pas par tous les points x,, . . ., x„, 

 a,, ..., a^,, divise le plan des nombres complexes en deux demi-plans, de 

 manière que tous les deux demi-plans contiennent à Tintérieur au moins 

 un des points or,, .. ., x^_,, -i^a+m • -m -^«j ^d ■•■■, <^p- 



On construira le plus petit polygone convexe, qui enveloppe les 

 n -h p points x,, . . ., x,,^ «,, . . ., a^,; ce polygone contient toutes les racines 

 de A(x). 



Supposons que ce polygone ne se réduit pas à un segment de droite ; 

 je dis que x^ est à l'intérieur de ce polygone, car si le point X/, était situé 

 sur la frontière de ce polygone, on pourrait trouver au moins une droite 

 telle que tout le polygone soit sur un côté de cette droite; c'est ce qui est 

 impossible. En résumé, le plus petit polygone convexe, qui contient tous 

 les points x,, x.,, . . ., a;„, a,, . . ., Op, ne contient sur sa frontière aucun de 

 ces points qui ne soit pas une racine de A(x). 



Tout pareillement, si x,, ..., x„, a,, ..., a^ sontsitués tous sur un segment 

 de droite, les deux extrémités de ce segment sont racines de A{x). 



On tire du théorème, en suivant M. Fejér (-), la conséquence suivante : 

 La racine la plus grande de J{x) {en valeur absolue) ne peut pas être pLis 

 grande {envaleur absolue) que toutes les racines de A(x). 



Les racines de l'équation /(r) = o représentent la position d'équilibre 

 d'un certain système de /i poi Is matériels; cette position d'équilibre est 

 toujours instable. 



(') Voir les Notes de M. Fejér citées plus haut. 

 (-) Loc. cit. 



