SÉANCE DU 28 OCTOBRE 1912. 8l3 



et par suite, dans le cas des systèmes a, 



(2) tangra' ^ sins! tangra. 



formule où l'on reconnaît la généralisation d'une propriété des lignes de 

 courbure. 



Elle devient illusoire dans le cas des lignes asymptotiques, mais il est 

 facile de lever cette indétermination. Si l'on tient compte de la relation 



(3) lan^a = - cosro, 



établie pour tous les systèmes conjugués oi'i l'angle ct reste constant le long 

 de chaque ligne (v), il vient, pour les systèmes a qui présentent cette par- 

 ticularité, 



(4) langnr' ;= - oosa siiiTiT, 



p 



et l'on en déduit, pour les lignes asymptotiques, 



(5) langra'rr: -, 



o 



car chacune d'elles est la ligne (r) d'un système a- particularisé comme 

 nous venons de le dire. Cette formule est d'ailleurs une conséquence immé- 

 diate d'une propriété connue de l'indicatrice sphérique de la binormale 

 d'une courbe quelconque. 



M. Demartres m'a fait remarquer, dans le même ordre d'idées, que la 

 formule 



tan» a := -) 



p 



établie dans ina dernière iSote, n'est que l'expression de la propriété de la 

 droite rectifiante en chaque point des géodésiques (v). 



La formule (2) intervient dans la recherche des surfaces définies par une 

 propriété d'un de leurs systèmes a. Ce problème est la généralisation de 

 celui qui consiste à déterminer une surface, connaissant une propriété de 

 ses lignes de courbure. Pour ce dernier, le cas le plus simple est celui où 

 l'angle gî doit rester constant le long de chaque ligne de courbure (i'), en 

 pouvant varier de l'une à l'autre. On sait que les surfaces à lignes de cour- 

 bure planes dans un système répondent à cette question, et que ce sont les 

 seules. J'ai été ainsi conduit à chercher la surface S [)0ssédant un système 



