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conjugué T, pour lequel l'angle ni reste constant le long de chaque 

 ligne (f), tout en pouvant, comme on Ta dit plus haut, varier de l'une à 

 l'autre. 



Il résulte d'abord des liiéorèmes énoncés dans ma dernière Note, que ce 

 problème revient à trouver les surfaces S sur lesquelles on peut tracer une 

 famille d'hélices, vérifiant la condition imposée à l'angle m. L'équation (2) 

 montre ensuite que l'angle gt' est aussi constant le long de chaque trans- 

 formée sphérique (('')des hélices(('), ce qu'on pourrait d'ailleurs démontrer 

 directement. Ces courbes (i'') sont donc des cercles, tout comme dans le 

 cas des surfaces à lignes de courbure planes. 



L'axe de chacun de ces cercles est parallèle aux génératrices du 

 cylindre H, qui admet l'hélice correspondante (c) comme géodésique. C'est 

 la généralisation de cette propriété des surfaces à lignes de courbure planes 

 dans un système : que le plan de chacune de ces lignes est parallèle à celui 

 du cercle (ç'') correspondant. 



Quant aux lignes sphériques («'), qui correspondent aux lignes (u) de S, 

 elles ne sont plus perpendiculaires aux lignes (v ), mais l'angle (u, ^>') reste 

 constant le long de chacune de ces dernières, car il est en chaque point égal 

 à l'angle a des courbes (m) et (c). C'est ici surtout que se marque la difîé- 

 rence entre le problème que nous étudions et celui des surfaces à lignes de 

 courbure planes. Voici, en consécjuence, la marche à suivre pour déterminer 

 les surfaces S considérées. 



On rapporte d'abord la sphère de rayon 1 à une famille de cercles, et à 

 leurs trajectoires sous un angle a, qui reste constant le long de chaque 

 cercle. Il est pour cela avantageux de rapporter d'abord la sphère à une 

 famille de cercles et à leurs trajectoires orthogonales, opération pour 

 laquelle on bénéficie des résultats obtenus dans l'étude des surfaces à lignes 

 de courbure planes, et de faire ensuite un changement de variables conve- 

 nable, de manière à conserver les cercles et à remplacer leurs trajectoires 

 orthogonales par celles, plus générales, qu'on veut obtenir. 



Après avoir ainsi exprimé en fonction des variables ueli> les coordonnées 

 c, c', c" d'un point quelconque de la sphère, il ne reste plus qu'à intégrer 

 l'équation de Laplace correspondante, ou du moins à en trouver des solu- 

 tions. Rappelons, d'après M. Chrisloflél, que celle é(|uation peut se mettre 

 sous la forme 



