SÉANCE DU 28 OCTOBRE 1912. 8l5 



OÙ l'on désigne par e, /, g les éléments de Gauss pour le syslome de coor- 

 données spliériques (m, v). 



La solution générale du problème considéré doit comprendre cinq fonc- 

 tions arbitraires d'une variable, dont trois pour le système de coordonnées 

 spliériques et deux pour l'intégration de l'équation de Laplace. Je ne l'ai 

 éliidié que dans des cas très simples, en me laissant guider parce qui a été 

 fait pour les surfaces à lignes de courbure planes. Les plus simples de ces der- 

 nières étant les surfaces de révolution, on est amené, par extension, à consi- 

 dérer les hélicoïdes généraux comme les premières des surfaces S cherchées, 

 et à passer de celles-là à d'autres plus complexes. 



Pour les hélicoïdes les cercles (r') sont parallèles entre eux, mais ces sur- 

 faces ne sont pas les plus générales de celles qui admettent ces cercles 

 comme représcntalion sphéi'ique des hélices (*•). Elles sont particularisées 

 par ce fait que les cylindres H sont de révolution autour d'un même axe, et 

 qu'en outre les hélices {v) sont de même pas. Leur équation ne comprend 

 pour cela qu'une fonction arbitraire au lieu de trois. Cela m'a conduit à 

 chercher, comme premier problème sur Tes surfaces considérées S, celles de 

 ces surfaces qui admettent pour le système conjugué (m, ^•)la représentation 

 sphérique des hélicoïdes. De là je suis passé au cas où les plans des cercles 

 (r') passent par une droite fixe. J'ai obtenu les expressions de c, t', c" en 

 fonction de u et de c, avec une fonction arbitraire de <■, ce qui m'a permis 

 de former explicitement l'équation (6), mais je ne suis pas parvenu jusqu'à 

 maintenant à intégrer cette équation. J'en ai seulement trouvé des solutions 

 particulières auxquelles correspondent des surfaces S un peu plus géné- 

 rales que les hélicoïdes. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Remarques sur certains théorèmes d'existence. 

 Note de M. M.4urice Gevrev, présentée par M. Emile Picard. 



1. M. Holmgren, dans les Arh\- for Malemat i^- (iç)q8) , a démontré quelques 

 propositions fort intéressantes relatives au prolongement des solutions de 

 l'équation de la chaleur ; ces résultais sont des cas particuliers de théorèmes 

 plus généraux, susceptibles d'être démontrés par une autre voie, et relatifs 

 aux équations du type parabolique. Je me propose de les indiquer ici. 



M. Holmgren envisage une classe de fonctions, que nous appellerons 

 fonctions H, relativement à une variable v, et qui jouissent des propriétés 

 suivantes: elles sont indéfiniment dérivables dans un intervalle donné, et 



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