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le module de leur dérivée n"'""' osl iniï'rieur à 



M2/(! 



Cela posé, toute solution régulière de l'équalion 



est une fonction II relativement ky, dans toute région du plan où /(^,v) 

 est elle-même de celte nature: cefail((jui est immédiat ([nand/'= o) résulte 

 de la considération de Tune ou l'autre des deux intégrales 



.., p -i.r'-£l' 



(>) «(^■,r)=:--îp / / -=^^e->y--'^' f{l.-r,)dldn, 



■ <■/■-'. 



dont la première est bien connue (') et dont la deuxième représente la 



solution nulle, ainsi que-r^, sur l'axe Oj. 



Envisageons maintenant l'équation parabolique linéaire 



d-z dz dz . 



^ ' ôx- ôy à.f 



où les coefficients sont des fonctions H pai' rapport iyy dans un domaine D : 



toute solution régulière z, flans D, est elle-même une fonction H ainsi que j^- 



Pour le démontrer, après avoir observé que toutes les dérivées existent en v, 

 on calcule leur limitation par voie de récurrence, en remanpiant que la 

 dérivée u„, d'ordre //, satisfait à une équation de la forme 



()-"„ àii„ ôii„ 



-^-^ p- = «-; 1- cti„ + f„, 



ox^ Oy (l.r 



/„ ne contenant que des dérivées d'ordre < n. 



Si l'on appelle courbe II toute courbe de D dont ré(|ualion est de la 

 forme a; =^ X (j), X étant une fonction H dans un intervalle (a, [î), toutes 



(') \o\v Comptes rendus, 20 févriei- 1911. l^a formule (a) peimel de démonlrer 

 assez rapidement plusieurs des résultais, trouvés difTéremment, et énoncés dans ma 

 Note du f) juin 191 i . 



