SÉANCE DU 28 OCTOIJRE I912. 817 



les solutions cnvisa^vcs se réduisent sur une toile courbe à une fonclion 

 Hdej('). 



•^'^ 



II. Si Ton se propose de résoudre le prohlcme de Cauc/iv, relatif à 

 l'équation (3), pour une courbe H et avec des données d'espèce H, la for- 

 mule (2) fournit la solution par le moyen d'approximations successives 

 (un chani^cment de variables permet de prendre zéro pour données et Ov 

 pour courbe H). 



Enfin, étant donnée une solution z régulière dans un domaine D limité 

 en partie par une courbe H, la condition nécessaire et suffisante pour que z 

 soit prolongeable au delk de H, est que les valeurs prises par ^ sur cette 

 courbe consliluent une fonction H pour tout intervalle striclemcnt intérieur 

 à(a,[i). 



III. lùaut donnée une équation du type paiaboli(pie, l'équation de la 

 chaleur par exemple, on peut se proposer de trouver une solution a/ialy- 

 Uque déterminée par les valeurs quelle prend sur deux courbes sécantes, les 

 données et le contour étant analytiques (-). Or ce problème est en général 

 impossible. Supposons, par exemple, que x doive être nul sur Oy et égal sur 

 la bissectrice OU de .rO v à une fonction ^( v), holomorphe autour de l'ori- 

 gine : la condition nécessaire et suffisante pour que le problème soit pos- 

 sible est que, si l'on pose 



la fonction -^ ^ ^-^^ r soit une fonclion entière d'ordre 5 2. 



, x ^d 2" 1 .i. . .(2n +1) 

 sh — 

 2 



Ainsi la solution suivante, 



z{x,y) = —= -j.e 'y ^di, 



2v/7r^_. s/y sh^ 



3 



_.r 



se réduit à zéro sur Oy et à 2 ve ' sur OR, mais elle n'est pas prolongeable 

 au-dessous de Oa*. 



Bien au contraire, si nous nous proposons le même problème pour deux 



0: 

 (') On peut aussi dans Téqualion (3) supposer que le coeflicienl de -r— est une 



fonction H de signe constant. 



(-) Voir, à ce sujet, l'article de M. E.-E. Levi dans les Annali di Matemalica, 

 l. XIX, 1912. 



