SÉANCE DU 28 OCTOBRE 19T2. 819 



vail : Ubrr den Picardsriten Satz (Vierteijahrsschrifl der Natarfoischenden 

 Gesellscliaft , Jahrgan g j i , 1 906 ) . 



Soit une fonction » = s ( j) admettant le point z = o comme point m- 

 //(/we, autour duquel se permutent un nombre quelconque n de branches; 

 elle sera définie par une équation de la forme 



(1) F (;.«) = «"+ A.,(, -)(/"-'+ ,\,( : )««-^ -+-... + A„_,(;) H + A„(;) = o, 



les coefficients A, (s), A, (s), A„_,( = ), A„(2) étant des fonctions uni- 

 formes dans le voisinage du point g = o. Nous avons obtenu le tliéorème 

 suivant : 



Théokème. - Si la fonction 



B(:)= ^-— ~^4^ T — ,=«0+ a,- H-«oc'- + ... + «„,=- + ... 



' 1 + A,(;) + A2(;)H-.. .+ A„_, (;) 



est régulière en z = o cl si nous cnons a, 7^ o, le cercle (" dont le rayon ( ' ) est 

 égal au nombre L correspondant à la fonnion B(s) et dépend^ par consé- 

 quent, seulement des a^ et a, (et non des autres coefficients a„, a,, . . .) jouit 

 de la propriété suivante : A l'intérieur de ce cercle ou bien la fonction B ( :) 

 possède un point singulier, ou bien la fonction A , (s)-|-A^(:;)-l-... + A „_,(;) 

 devient infinie (en un point au moins), ou bien la fonction multiforme 

 u ^ s (s) prend au moins une fois l'une des valeurs zéro et un. 



Il y a là une extension parfaite du théorème de M. Landau aux fonctions 

 pour lesquelles le point z = o est un point critique, autour duquel un 

 nombre fini de branches se permutent; il faut signaler dans notre énoncé 

 le fait remarquable que le cas où la fonction multiforme u = ':^(z) ne 

 prend ni la valeur zéro ni la valeur///? dans le cercle C, entraîne l'existence, 

 à l'intérieur de ce cercle, de points singuliers de fondions uniformes 

 données par les coefficients de l'équation (i) qui ne sont pas toujours des 

 points singuliers de la fonction multiforme elle-même; cela ne saurait 

 jamais être considéré conuDe un défaut parce que la fonction niulliformc 

 // = (z) est définie par la connaissance des coeflicienls A, (z), A.,(z), . . ., 

 A„(='). 



Nous remarquons que, da/is le cas général, le rayon du cercle C ne 

 dépend que des nombres A,(o), A.(o), . . . , A„ (o), A, (o), A3(o), ..., 

 A,', (o). En tout cas, il ne dépend que des coefficients or.^ et y.,. 



(') I.e centre du cercle est, bien enleiulii, le point :; ^ o. 



