898 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



(c, b) vers la fonction /(.r), peul-on en conclure que 



/ /(•'■)?,, 



{.c)dj: = Op. 



au cas où toutes ces intégrales ont un sens? 



Ces problèmes se sont présentés pour la première fois dans la théorie 

 des séries trigonométriqucs. Les belles recherches de MM. U. Dini (') et 

 A. Haar (^) les résolvent dans le cas des systèmes orthogonaux formés par 

 les fonctions de Sturm-Liouville, solutions de ré([uation différentielle 



The 





7( j;) H -)-).«= O, 



où l'on suppose />(x-) > o dans tout l'intervalle a<x<h. Les méthodes, 

 d'ailleurs différentes, de ces deux savants permettraient certainement, sans 

 exiger de modifications par trop profondes dans les raisonnements, de 

 résoudre ces deux problèmes dans certains cas où p{x) s'annule dans 

 l'intervalle (a, i) ou à ses extrémités. Nous préférons cependant suivre une 

 voie diftèrente qui a l'avantage de conserver une analogie plus directe avec 

 la méthode donnée par M. O. Hôlder pour les séries trigonométriqucs. 

 Elle revient à faire correspondre à toute équation différentielle du second 

 ordre, adjointe à elle-même, une surface de révolution sur laquelle on peut 

 définir d'une manière géométrique très simple un paramètre généralisé de 

 Beltrami jouant, pour les systèmes orthogonaux de fonctions résultant de 

 cette équation, le même rôle que la dérivée seconde généralisée pour les 

 fonctions trigonométri(jues. Nous nous bornerons ici à traiter le cas des 

 polynômes de Legendre, auxquels notre méthode fait correspondre la 

 sphère comme surface de révolution. 



Soient F(â, ç) une fonction du point (.^, p) sur la sphère-unité, w la dis- 

 tance sphérique des deux points (.'^, ^), (.'r', ^')- Formons l'expression 



A. 



F(&, 9 ; A) = — ^ f F(&'. 9') r/v'- F(&, o] 



dans laquelle l'intégrale est prise le long du petit cercle de centre (&, ç) et 

 de rayon sphérique //, ds' désignant l'élément d'arc au point (&', ç') et 



(') U. DiM, Sugli si'iltippi in série per la rappresentazione analitica dette 

 fiinzioni di tina variabile reale. Pisa, 191 i. 



C) A. HiAR, Zur Théorie der orthogonalen Fiin I; tionensystente : II {Mailienia- 

 tisclie Annaten, Hd. LWI), 191 1. 



