SÉANCE DU II NOVEMBRE I912. 949 



critiques fixes. Je voudrais compléter les résultats démontrés à ce sujet par 

 M. Schlesinger ( '). 



M. Schlpsineer considère le système différentiel linéaire 



/. - 1 »• = 1 



et les systèmes d'intégrales (y/A) définis par les valeurs initiales (0,/,) au 

 point ^'o, distinct des points a,, a.^^ — a, et du point ac . Si Ton prolonge 

 ces intégrales le long d'un chemin qui tourne une fois autour de l'un des 

 points singuliers, a,., leurs valeurs S,v„, sont, d'après un théorème de Poin- 

 caré, des fonctions entières des coefficients A 



(2) S,Ai,= E,y(-,.(A,,,, .... A„„7, «1, . . ., a^. Xi,), 



dont les coefficients se déterminent par des quadratures successives. Geg 

 fonctions entières se réduisent à la fonction exponentielle pour /? = i et 

 sont, quel que soit «, de genre et d'ordre i par rapport à chacune des 

 variables. On appelle souvent problème de Fuchs l'étude des fonctions 

 implicites A («) définies par les équations (2) où l'on considère les S 

 comme des constantes, et problème de Riemann la résolution en fonction 

 des A des équations (2) où l'on considère les S et les a comme donnés : 

 d'où le lien des deux problèmes. 



M. Schlesinger a démontré que les fonctions analytiques A (<i) satisfont 

 au'système différentiel, si l'on fait varier la seule quantité a, = a, 



E(x„) 



l / rfA,,, \ J'y ( Ag-, ) ( A,.,, ) - (A,,.,) (A,-,, ) ^ 

 |(^)-[(A...)(A,v..)-(A,..)(A,.,)](^ 



(l' = 2,3,...,ff). 



Si l'on considère a priori le système E (a:„), on voit qu'il est régulier et 

 se simplifie pour x^ = ce. M. Schlesinger a montré que l'on peut passer 

 aussi de l'un à l'autre des systèmes E(af„) et E(oc) par l'intégration d'un 

 système linéaire. D'ailleurs, dans les équations (2), le passage à la limite 

 pour iCp ^ 3: est immédiat si toutes les quantités SA^ sont nulles. 



Les deux systèmes E(oo) et E(.r„) ont leurs points ci-itiques fixes; leurs 



(') Voir notamment Vorlesungen iiber Uiieare Differentialgleichungen. Leipzig, 

 1908, et Journal de C relie, t. lit, fasc. 2. p. 96. 



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