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intégrales n ont pas d'autres points singuliers que des pôles en dehors des 

 points a z= a., — a„^ .r^, x. Ce résultai peut être obtenu par une métliodo 

 fondée sur l'emploi d'équations intégrales de Fredholui, et qui est en rela- 

 tion étroite avec les solutions du problème de Riemann qu'ont données ( ') 

 M. Hilbert dans le cas de l'équation du second ordre et M. Pleinelj dans 

 le cas du système (i) : si, en effet, dans une solution du problème de 

 Riemann, on fait varier l'une des quantités «, les fonctions A(r/) obtenues 

 constituent les intégrales du système E (.r„). Dans la plupart des travaux 

 relatifs à l'équation de Fredholm et à l'équation de Vollerra, on a introduit 

 dans ces équations un paramètre en facteur de l'intégrale, et les solutions 

 s'expriment au moyen de fonctions entières de ce paramètre. Dans les 

 équations intégrales à considérer ici, le paramètre a figure d'une façon 

 plus compliquée, mais analytique, et la solution s'exprime au moyen de 

 séries uniformément convergentes de fonctions holomorphes a ^ a.^ — a^, 

 Xg, 3o. Le caractère méromorphe de la solution résulte encore, comme 

 dans le cas ordinaire, de l'expression de la limite supérieure du module 

 d'un déterminant donné par M. Hadamard. On voit d'ailleurs, en substi- 

 tuant des développements polaires dans le système E (oc), que les pôles des 

 intégrales sont doubles. 



Indiquons quelques propriétés des systèmes E(oo) et E(ar„ ). Le système 

 E(ac) admet les n" intégrales iArt = const., et les «^ intégrales qu'on 

 obtient en égalant à des constantes les coefficients des a équations en S 

 relatives dans le système (i) aux points singuliers «,, : il est donc d'ordre 

 /ro- — «- —«c7-f-i. Les systèmes E(co) et E(a;„) ne sont pas altérés par la 



transformation ^A,,, A,, ,£A,,-, — ^ j (''7^1), <iuel que soit le paramètre t, 



et par les « — i transformations analogues : de sorte que par exemple la 

 détermination des intégrales particulières du système E(cc) telles que l'on 

 ait £A,j. = pour i^k dépend de l'intégration d'un système d'ordre 

 n-'j — n- — «(j+ I — (h — i) suivie de « — 1 quadratures. Le système E(3c) 

 ou E(a'„) admet comme dégénérescences tous les systèmes de même forme 

 où n et (7 ont des valeurs inférieures ou égales. Pour « = i ou a = i , les fonc- 

 tions A sont des constantes; pour 7=2, les systèmes E(^^3c) et E(a;,) se 

 ramènent à des équations linéaires. Pour n = 2 la classe des systèmes dif- 

 férentiels E(3o) est équivalente, dans son ensemble, à la classe des systèmes 



(') Clf. lIiLBEKT, G'itl. Nadir., iQoS, p. 007 ; I'f.kmku, Monalsli. fïir Mal h. 11. Phy.i., 

 1908, p. 21 1 . 



