SÉANCE DU II NOVEMBRE 1912. gSl 



que M. Ganiier a formés directement à partir de l'équation linéaire du 

 second ordre (' ), et dont il a montré directement que les intégrales sont 

 algébroides. l*our «7^ 2 et 77^ 3, les systèmes E(3c) et E(œ„) admettent 

 tous comme dégénérescence l'équation y" = bv'^ H--^'; d'autre part M. Gar- 

 nier a montré que ses systèmes peuvent dégénérer en des systèmes hyper- 

 elliptiques : d"où des conséquences relatives à l'irréductibilité des systèmes 

 E(a>)etE(.r„). 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur l'unicité du développernenl Irigonomé- 

 trique. Note de M. Cii.-J. delà Vallîse Po-ïssis, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Soit une série trigonométrique quelconque 



2, {y-n cos II. V -\- j3„ >\n na-). 

 



La question de savoir si cette série est une série de Fourier a fait l'objet 

 d'importants travaux (Encyclop. des Sciences mathém. pures et uppL, l. 11, 

 vol. I, fasc. 2, p. 228). La question n'a été tranchée affirmativement que 

 pour les séries qui convergent, sauf aux points d'un ensemble réductible, et 

 dont la somme est une fonction sommable, à oscillation bornée en chaque 

 point, sauf encore ceux d'un ensemble réductible. 



On a le tiiéorème suivant, qui est beaucoup plus général : 



Toute série I ri gon orné trique^ sans faire aucune h ypothèse sur sa coincer gence, 

 est une série de Courier, poitnu que son terme général ait pour limite zéro et 

 que ses deux limites d' indétermination (plus grande et plus petite limite de 

 la somme de ses termes) soient des fondions de x finies et sommables (on ne 

 les suppose pas bornées ). 



Plus généralement, le théorème subsiste quand la somme ou les limites 

 d'indétermination de la série sont infinies dans un ensemble E, pourvu que 

 l'ensemble E soit dénombrable. ou n'ait pas la puissance du conti/ui, ou ne 

 contienne pas d' ensemble parfait. 



Ce théorème se ramène au suivant, sans difficulté : 

 (' ) Tlièse, l'aiis, 1911. 



