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Soit F(ic) une fonction continue dons un inlervalle (a, h). S'il existe une 

 fonction f (^x)^ comprise ((tu sens large) entre les deux dérivées secondes 

 généralisées (supérieure cl inférieure) de F (.r) et qui soit sommahle dans cet 

 intervalle, on aura, dans ce même inlervalle (a, b), 



F(a-) = / dx I f{x)cl.r -\- fonction linéaire de jc. 



Plus généralement, le théorème subsiste si f{.c) devient infinie dans un 

 ensemble E satisfaisant aux mêmes restrictions que ci-dessus, pourvu qu'il 

 existe en chaque point des systèmes de i^aleurs positives et infiniment petites 

 de h et de k rendant infiniment petite la différence 



F(.r + /0 — F(j-) F(.r — /,)— F(«) 



1, ' ITT^ ' 



auquel cas nous dirons que F {x^ vérifie la condition (K). 



Pour établir ce théorème, on prouve d'abord que, si la dérivée seconde 

 généralisée de F( a;) est positive (non nulle) dans l'intervalle {a,b), tout 

 arc de la courbe "t' = F (.r) est au-dessous de sa corde. Si, en outre, ¥(x) 

 vérifie la condition (K), aucun arc ne sera au-dessus de sa corde, alors 

 même que cette dérivée seconde deviendrait négative dans un ensemble E 

 satisfaisant aux conditions précédentes. On a évidemment des propositions 

 inverses en renversant les signes. 



On montre ensuite, en imitant ce qui est fait dans le Tome I de mon Cours 

 d'Analyse (Paris, Gauthier-Yillars, 2^ édition, 190g, p. io'i-iot\), que 

 l'on peut construire deux fonctions o, {x), o^ (x), infiniment voisines, ayant 

 leurs nombres dérivés du premier ordre respectivement >/(a-)el <^f(x), 

 et telles qu'on ait 



?,('^)> f f{x)d.v>o,(.r). 



Ceci fait, sur les trois courbes infiniment voisines 



•)•, — F(.r) — / o,{x)dx. 



y rr F(,r) — ( d.r j /( .r) cU ( v, > y > v, ). 



,, = F{.r)— r 0,{x)dx, 



