SÉANCE DU 18 NOVEMBRE 1912. lOOI 



Soient m, n, /;, trois entiers positifs vérifiant l'inégalité 



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\ H - <I, 



m II ji 



et supposons que les racines des équations 



(ac) /(.r)==o, /(.r) = i, /(x) = ^, 



contenues dans D, aient leurs ordres de multiplicité divisibles par m pour la 

 première équation, par n pour la seconde, par p pour la troisième ; de telles 

 racines seront dites ?'égutiêres respectivement par rapport aux entiers /«, 

 n, j). La famille des fonctions /"(a;), méromorphes dans le domaine con- 

 nexe D où les racines des é(piations (a) sont régulières, est une famille nor- 

 male. Cela résulte d'un théorème établi par MM. Carathéodory et 

 Landau (' ). 



''î. Considérons la famille (?) des fonctions f(.T) méromorplies dans le 

 cercle C de centre a; = o et de rayon 1\, qui prennent au centre la valeur 

 linie Og et telles que les racines des équations (a), intérieures à C, soient 



régulières. Dans le cercle concentri(pie à C et de rayon — > le nombre des 



pôles de chaque fonction /(,r) est inférieur à un nombre fixe, indépendant 

 de 1\. On en conclut cpie : 



\. Si une Jonclion f{x) esl méromorplie dans tout le plan, il y a au moins 

 une racine des équations (a) y«/ n'est pas réorulière. 



Les pôles des fonctions de la famille (.f) sont tous à Textérieur d'un cercle 



concentrique à C et de rayon p, et le rapport ^ ne dépend que de a^, w, /z,/). 



Dans le cercle de centre O et de rayon -, les modules des fonctions /(r) 



sont inférieurs à un nondjre fixe indépendant de 1\. On peut alors démon- 

 trer les propositions suivantes : 



dans ce cercle, on ail |/( j-) — /„ (.r) |< j si /(.r,) esl fini ou —-— - , , , <s 



*'/('?o) esl infini, i/i convergence est uniforme dans un domaine D si elle est uni- 

 forme en chaque point intérieur à D. 



(') Beitràge ziir Koiivergen: voit Funktionenfolgen {Sitzuiigsberichte der K. K. 

 AL. der Wissenscliafleii, 1911, p. 6oj). 



c. n., 1912, 2" Semestre. (T. 155, N° 21.) * I S.'i 



