SÉANCE DU 18 NOVEMBRE I912. IOo3 



centre origine et de rayon 11; supposons que le nombre des racines non régu- 

 lières et intérieures à C des équations (^cc) ne dépasse pas un entier fixe k et 

 que ces racines soient à une distance de l' origine au moins égale à 0H(o<^ <^ i ). 

 Dans ces conditions^ le nombre R vérifie l'inégalité 



n< 1 1 



N(a„, 0, k) ne dépend que de r/„, 0, X', m, n, p et demeure borné si |flj est 

 borné. Dans ce dernier théorème, comme dans le tliéorèuie II, on obtient 

 des inégalités analogues en remplaçant a, par un autre coefficient 



de la série. 



L'hypothèse m = n =p ^ e = ao permet de retrouver un théorème que 

 j'ai énoncé précédemment ('). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les in^'uriants du calcul des variations. 

 Note de M. Tu. de Doxdeis, présentée par M. Appell. 



I. Dans une Note n'-cente publiée dans ces Comptes rendus (séance du 

 23 septembre i()i2), nous avons étudié certains invariants du calcul des 

 variations; nous étendrons ces résultats au cas où .r,, ..., a"„ dépendent de 

 plusieurs variables indépendantes l^, . . ., l.^\ nous nous bornerons au cas où 

 la fonction invariante F(-ï',, . . ., Xn, x\,x\, . . ., a-J,, /,, ...,/T)ne renferuie 



que les dérivées premières x\^---^, ..., ipj^^-r-^, des x par rapport 



aux t. 



On a l'identité 



ôF = DF+y/.4-DxF, 



ou 





( ' ) Sur les fonctions holomorplies qui admettent deux valeurs exceptionnelles 

 dans un domaine {Comptes rendus, 1911, 2'= sem., p. 996). 



