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et 



n 



D),F=2-F..:ôx, (). = i,....T). 



Nous remarquons que DF et les D),F sonl des irn'aria/its du groupe des 

 transformations prolongées de r,, ..., .r„. Nous trouvons, en outre, les 



t{t + l) . . ,.,^, . , 



invariants dinerentiels 



fl n 



7 /■ 7 ( l"..* .1 ;- 0, ^v ôj a"j ( )., V = I r ) ; 



I I 



chacun des déterminants H)^ formés au moyen des F,;,'(/', 5 = i, ...,n) 

 est égal au carré d'uu multiplicatour du groupe (X) des transformations de 

 •r,, ..., x'„. De ces formes différentielles (juadratiques, on pourra aussi 

 déduire une généralisation du paramètre différentiel de Lamé. 



II. Supposons maintenant que / ••• / Ffj;,, ...,.x-„, .r], ...,a;J,)f//|, ...,1-//^ 



ait la forme paramélnque (') (Weierstrass ); pour qu'il en soit ainsi, il 

 faut et il suffît que F soit linéaire et liomogcne en 



i^ '.= ■ 



dKi, /t) 



où j, , . . ., i^ est une des combinaisons ': à t des n premiers nombres entiers; 

 autrement dit, il faut et il suffit qu'on ait 



(■) I^- 2^' -^^. ■."^«•. 



' 'i 



Ou aura alors les identités (^) 



n 



(2) 2-.C'^'^.< = « (>, = I, ...,T). 



1 



III. Supposons en outre que « ^ t + i . Posons 



^. ^(-^l ) • • • 1 ^i-\^ ^i-v 11 ' • • •> ^n ) 



'-- = <){t,. ...,/„_,) 



(') On pourra consulter, pour la bibliographie, notre Mémoire : Sur les équations 

 caitonif/ues de UamiUon-Volterra {Mém. ln-'{'', Aca//. rny. de Belgique, igi i ; aussi 

 chez Gautliier-Villars, Paris). 



(^ ) Pour le cas où /; ^: 3 et t r= 2, voir une Note île [''ujiwara ( The Tù/ioAu Mathe- 

 malical Journal, t. l, 11" 1, 191 1). 



