SÉANCE DU 13 NOVEMBRE igi2. Io63 



totique { ') de la meilleure approximation des fonctions analytiques par des 

 polynômes ( -;. 



I . Soil d'aJîord 



f(.v) — a^-^at,r -h. . .-h a„.v" -\- . . . 



une fonction entière. Transformons-la en série de polynômes trigonomé- 

 tri(|ues, T„ (.r) = cos « arc cosa-, comme je l'ai fait au paragraphe 4'i du 

 Mémoire Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues, 

 publié par l'Académie de Belgique. On a 



/{u') — A„ -h A, T, (.r ) -H . . .+ A„ T„(.r) + . . . . 



ou 



3 ( tt -H 4 ) ( " -H 5 ) 

 — a,,^.,-\ : : a„ 



2*. 2 ! 



D'après le paragraphe (il du Mémoire cité, on a limy'A,j^, = o ; il y a 



a différence 



<[ p'', p ctanl 



donc une infinité do valeurs de /;, telles (jue 

 nombre aussi petit qu'on veut. Par conséquent, 



(2) /(j") — A„— Al ï,(.r )—...- A„T„ (:.,•) =A„+,[T„^, (./■)+=„ ^.r)] 



un 



où £„ tend vers o pour les valeurs considérées de n, aura («-4-2) extrema 

 successivement de signe contraire asymptotiquemenl égaux à A,,^.,. Il y 

 aura donc une infinité de valeurs (^) de n, pour lesquelles A„+, sera la 



E„ 



(') Nous disons c|ue A„ est une valeur iisvnii)li)li([ue de E„. lorsque llui — =: i. 



(-) Dans un Mémoire (|ui ])arailra procliainement dans les Acta mallicinalica, 

 j'étudie le problème plus difficile delà détermination de la meilleure approximation 

 (le \.r I par des polynômes de degrés indéfiniment croissants. Une partie des résultats de 

 ce Mémoire est résumée dans ma Note du 22 janvier 1912 ; et je profite de l'occasion 

 pour iiulir|uer que l'inégalité (3) de cette Note doit être remplacée par 



o,28G „ 0,278 



■i n 2 /( 



(') Un raisoiinemeiU analogue est souvent applicable aux fonctions qui non seule- 

 ment ne sont pas entières, mais ne sont même pas analytiques. Ainsi l'on vérifiera ce 

 fait curieux que la fonction sans itcn\'t'e, de \] eiersti ass, 



f{x) =i6"'cosrt"' arccos.r = i6'" Ta...(,x) (pour a = 2 /■ -1- 1). 



a sa meilleure approximalioii EnJ'{x) exactement égale à 



lorsque 



