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valeur asymptotiqite delà meilleure approximation \L„f{x) de/"(a:)sur le 

 segment (— i, -i- i ). 



2. Soit, à présent, 



1=1 



où a est un nombre réel, et r^ (.c) une fonction holomorphe à l'intérieur de 

 l'ellipse, ayant — i, -+- i pour foyers et 2 |a| pour grand axe [cela aura liçu, 

 en particulier, si le rayon de convergence de f{x) est \a\, la fonction 

 f{x) admettant, entre autres singularités, le pôle a sur son cercle de con- 

 vergence]. Je dis que la meilleure approximation sur le segment (— 1, +1), 

 E„/(x), admettra pour sa râleur asymptotique 



»^-'|A;,-| _^ 



/. 4-1 



(A-_,)!(„2_,) . [|„| + ^/;^izr7J" 



En effet, on peut, sans restreindre la généralité, supposer (7|> o. 



Or, le problème algébrique de la détermination de E„ ( j se résout 



immédiatement moyennant quelques remarques ajoutées aux résultats du 

 Mémoire classique de Tchebischeff Sur les questions de minima qui se rat- 

 tachent, etc. (§ 29-38). 



On reconnaît ainsi, en posant 



1 (x + \/ X-' — i)"\ax — \ + \J{a'~ i){x-' — i)] I 

 /l^^ p /,.N_ l + Ca- — y/x^— i)"[g.r-i-^(fl-^— i)(.r'— 1)] \ 



\^> '^nK^j— — -j / ., 1,' ' 



■?.{a- — \)\a + \ia-— i J 



que le polynôme d'approximation de degré n de sur le segment 



( — I , -H I ) est 



(4) r„(.)^L:zZ^ 



et 



(5) £ 



( «7- — I ) ( « + s/(i- — 0" 



La détermination exacte de E„ i-^ — j , pour X-> i, présente des diffî- 



a'" 1 «< «'"+•'. On a le premier exemple d'une fonclion non analytique, dont lous 

 les polynômes d'approximation sont connus explicitement. 



