SÉANCE DU 2 DÉCEMBRE 1912. Il37 



équation que nous pouvons écrire, en supposant G (0,1) 7^ o 



f(.r) = <h{jc) + f K(J-. t)f(tx)dt 



(2) 



ou bien 



(3) 



en posant 



/•(^) = p(x)+ f K(/)/(/.r)./<, 



•-' Il 



p{,i-) = ^{x)-h f Q{.r,t)/{l.r)dl. 

 "- 

 Q(j", t) = K(x, t) — K(o,t). 



K(0=:K.(o,0- 

 Supposons que K (/) soit un polynôme de degré r — i en /, c'est-à-dire 



K(0 = i,+ b,J -H. ..+ b,r'K 



Alors l'équation (3) équivaut formellement à une équation différentielle 

 du type de Fuchs, à laquelle on satisfait en mettant 



,r« r j-'-«p(_v)f(i' J^* r y''-'^p{y)dy 

 ^l H(a) ^'^ ^X H(.) 



dx. 



expression dans laquelle a est une quantité positive quelconque, et Ton pose 



H (a) = 1 — • . . . 



i-t-a 2-t-« Il -^ 3. 



C, est un contour enfermant les racines de l'équation H (a) = o, dont la 

 partie réelle est moindre que zéro; il doit rester entièrement à gauche de 

 l'axe des imaginaires. Co doit enfermer les autres racines, et celles-là seu- 

 lement. Les Pi sont des constantes, et les o^- les racines (7, fois répétées) 

 dont la partie réelle est plus grande que — i. On arrive à cette formule 

 par la méthode de variation des constantes. 



L'équation (3) se résout maintenant par un système d'approximations 

 successives quand |Q(>r,i)| est suffisamment petite, c'est-à-dire quand \œ.\ 

 est moindre qu'une certaine quantité. 11 faut que le contour C^ soit entiè- 

 rement à droite de l'axe des imaginaires. S'il y a des racines purement 

 imaginaires, il faut les considérer à part. Dans tous les cas, on démontre 

 la convergence en se servant des fonctions majorantes. 



