SÉANCE DU l6 DÉCEMBRE I912. 1285 



a; = co, qui peuvent faire connaître la nature intime de ces transcendantes. 

 Traduisons d'un mot le résultat principal auquel arrive M. Boutroux. 



Les transcendantes en question, transformées en posant y = x"'^\ , X ^ x' 

 et choisissant convenablement m et /, sont des fondions asymptotes aux fonc- 

 tons doublement périodiques. Autrement dit, on peut décomposer le plan 

 des X en aires qui ressemblent de plus en plus à des parallélogrammes inva- 

 riables de périodes à mesure qu'on s'éloigne dans le plan; et dans chacune 



de ces aires, latranscendantey(a;) ou son inverse - difîère d'une certaine 

 fonction elliptique z{x) ou de -—1 dune quantité qui tend vers zéro 

 avec -• Cette propriété asymptotique des transcendantes y (a?) fournit d'ail- 

 leurs une démonstration nouvelle de leur uniformité et méromorphie 

 (démonstration dont on sait la difficulté) : mais elle fait, en outre, ressortir 

 d'une façon frappante les allures de la fonction au voisinage de son point 

 essentiel. 



Dans cette étude particulièrement subtile, M. Boutroux a été guidé par 

 celle, plus simple, de l'équation de Riccati et, notamment, des fonctions de 

 Bessel. C'est parla connaissance du premier ordre qu'il a pu pénétrer si 

 loin dans le second. La partie de son Mémoire consacrée au premier ordre 

 est d'ailleurs, en elle-même, des plus intéressantes : c'est là qu'il introduit 

 la notion de quasi-période x^ — x.,, x, et x.^ étant deux valeurs de x qui 

 correspondent à la même valeur y de la fonction. C'est là qu'il a appris à 

 suivre la distribution des pôles le long de certaines lignes, d'allures 

 simples, et qu'il a mis en évidence le caractère remarquable de certaines 

 intégrales, qu'il qualifie de tronquées et pour lesquelles une de ces lignes de 

 distribution est rejetée à l'infini. Toutes ces circonstances se retrouvent 

 d'une façon frappante dans le cas du deuxième ordre, mais l'auteur les eût 

 sans doute discernées moins facilement sans l'étude préalable de l'équation 

 de Bessel. 



Dans le cas de l'équation de Bessel ramenée à la forme 



(2) y -)- ayj Z — . V- -I- I , 



c'est l'équation 



(3) 7' = 7^+i 



qui sert d'équation asymptotique pour x infini. Dans le cas de l'équation (i) 



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