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romenée à la forme 



•' .r 2n .7'- 



c'est l'équation 



(5) y"=z6y' — G 



qui scrl d'cqualion asymptotique poiu' '-^^ inlini. Dans le cas (2), les fonc- 

 tions de Bessel, après transformations, sont asymptotes aux fonctions 

 circulaires ; dans le cas (4), les transcendants j(a;) sont asymptotes aux 

 fonctions elliptiques définies par (5), qui sont comme leur image déformée, 

 mais d'autant plus exacte que (a-) est plus grand. 



L'étude des intégrales tronquées de l'équation (4) est particidièrement 

 frappante. Un des résultats les plus curieux obtenus par M. Boutroux est le 

 suivant : 



Une intégrale ri'.r) de Cl) peut être définie par l'affixe .r„ d'un de ses 

 piMes et la valeur, soitc, du premier coefficient arbitraire obtenue dans son 

 développement autour de j:„, à savoir le coefficient de (a; —a7„)''. La con- 

 dition pour que l'intégrale soit tro/u/uèe, c'est-à-dire qu'une des lignes de 

 distribution des pôles soit rejetée à l'infini, se traduit par une rela- 

 tion c = (a;„), où o est une transcendante uniforme admettant comme 

 coupure essentielle une certaine demi-droile (passant par l'origine). Plus 

 exactement, il y a. avec l'axe réel positif OA, quatre demi-droites OB, etc. 



faisant avec cet axe des angles multiples V ^t qui sont asymptotes aux 



lignes de distribution des pôles. A chacune de ces cin(j demi-droites cor- 

 respond une relation f:=cp(a7„), où ^(■'f„) admet comme coupure essentielle 

 une demi-droite qui prolonge OA, OJ!, ... à partir d'uu certain point. 



Les méthodes de M. Boutroux s'étendent sans peines aux autres transcen- 

 dantes uniformes, définies par les équations du premier ordre et du premier 

 degré. Mais elles embrassent aussi les équations à intégrale multiforme, 

 moyennant des précisions et des difficultés dont on pressent la profondeur. 

 Une dernière partie du travail de M. Boutroux compare certaines séries 

 intéressantes qu'il obtient directement avec celles qui se déduiraient de 

 résultats de ÎVLVL Schlesinger et R. Fuchs dont nous parlons plus loin. 



Il est difficile de traduire en quelques pages les rares qualités subtiles et 

 pénétrantes d'un tel travail. On peut le résumer en disant qu'il constitue 

 une méthode pour aborder directement, au voisinage des points essentiels, 

 les intégrales uniformes el même multiformes, d'une équation différen- 



