SÉANCE DU 16 DÉCEMBRE 1912. 1287 



tielle du premier ordre ou du second ordre. T-ia méthode peul être étendue 

 à tous Ips ordres. 



Les Mémoires de M. Chazy et de M. U. Garnier, entièrement différents 

 du précédent, présentent entre eux un certain nombre de points communs: 

 tous deux ont contribué à la recherche des équations à points cri ticjues fixes 

 qui sont, ou du deuxième ordre, mais de degré plus grand que Tunité, ou 

 d'ordre supérieur au second. Tous deux, à des points de vue différents, ont 

 étudié la connexité découverte par MM. Schlesinger et R. Fuchs, entre 

 les nouvelles transcendantes et la théorie des équations linéaires. 



M. Chazy a divisé en classes bien réparties les équations du second ordre 

 et du second degré à points critiques fixes. Il a énuméré complètement 

 celles qui entrent dans les classes qui apparaissent de prime abord comme 

 les plus simples, et celles qui rentrent dans la classe la plus compliquée. 

 Toutes les transcendantes ainsi obtenues se ramènent à celles du deuxième 

 ordre et du premier degré ou à celles du premier ordre. Il semble mainte- 

 nant assez vraisemblable qu'il en est ainsi pour toutes les classes. 



Mais l'effort le plus heureux de M. Chazy a porté sur les équations du 

 troisième ordre et du premier degré. 



La détermination des équations à points critiques fixes de ce type exi- 

 geait l'extension au troisième ordre des deux méthodes (jui avaient résolu 

 le problème pour le deuxième ordre : 1° recherche des conditions néces- 

 saires pour (pie les points critiques soient fixes; 2" di'moustralion de la suf- 

 fisance de ces conditions. La première extension entraînait surtout des 

 complications, d'ailleurs assez considérables, de calculs; la seconde au con- 

 traire soulevait des difficultés intrinsèques que M. Chazy est parvenu à sur- 

 monter. Il a mis en évidence un type d'équations à points critiques fixes 

 dépendantde six constantes irréductibles et qui apparaît commeentièremcnt 

 nouveau. Peut-être se rapporte-t-il au problème de M. Schlesinger dont 

 nous parlons plus loin. 



Mais il est un autre type remarquable d'équations que M. Chazy a ren- 

 contré dans son énumération et dont l'étude exigeait des procédés tout à 

 fait nouveaux. C'est Féqualioa 



(6) ,."=rj"yA_ ,/. 4.,)y'2yA-i (À entier positif); 



les intégrales de cette équation n'ont ni pôles, ni points critiques algé- 

 briques ; elles sont ou entières ou à points singuliers luus iranscendaiils. 



Les méthodes a|>pliquées au second ordre se montraient impuissantes à 

 lever cette alternative. M. Chazy, en étendant habilement certains résultat,s 



