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classiques de M. Bendixon sur réquation a-" y' = v-hax" -^-ilj.ttr-h..., a 

 pu obtenir dans Tétude de l'équation (6) des développements valables dans 

 un certain angle et qui mettent en évidence l'existence de singularités trans- 

 cendantes des intégrales de ((>), Cette même méthode, qui exigeait beau- 

 coup d'ingéniosité et de pénétration, a permis à l'auteur de limiter le degré 

 des pôles en y de toute équation à points critiques fixes de la forme 



(7) y"'=f^(7"- j\/i ■*') (R rationnel en )",j', j, analytique en .r), 



et comme le nombre de ces pôles est limité (sauf pour le cas fuchsien), 

 le degré de R en y", y', y est ainsi limité pour les équations à points critiques 

 fixes, sauf dans le cas fuchsien où le nombre des pôles en y peut dépasser toute 

 limite. 



Ces résultats s'étendent aux équations du troisième ordre non résolues 

 ainsi qu'aux équations 



j'> ou ji") — P{a:,y,y\ ...), 



P désignant un polynôme en y., y', .. . analytique en x : là encore, le degré 

 de P en j, y', . . .,/'""' est limité. 



Enfin, M. Chazy a apporté aux questions soulevées par M. Schlesinger 

 une importante contribution. Ces questions se rattachent, comme on sait, 

 au problème célèbre de Riemann relatif aux équations différentielles 

 linéaires. 



Considérons le système linéaire : 



(8) 



A, 



/ — a, t — a-i 



•-(7^-)- 



où t = a^, «2, 03,20 sont quatre pôles des seconds membres (réguliers au sens 

 de Fuchs). A chaque point a,, a^, ^3, correspond une permutation des inté- 

 grales fondamentales (m,, c,) et (w^, v^) de (8), permutation qui est définie 

 par quatre coefficients, soit a,, x^, y.^, a, pour a,. On sait que lésa sont des 

 fonctions holomorphes des A dont les coefficients dépendent des a^ par l'in- 

 termédiaire de quantités qui ne sont autres que les différences des valeurs 

 de M,,t'|,M2î*'!!i après parcours des lacets fondamentaux partant de a;„; si l'on 

 veut encore, ces coefficients sont définis à l'aide d'opérations qui équivalent 

 à des intégrales définies dans le cas où le système (8) est réductible aux 

 quadratures. 



