SÉANCE DU l6 DÉCEMBRE I912. 1289 



Écrivons donc les équations 



(9) ay= Ey(A,, ....D,„«,,f/..a,) (/= 1, a. .. ., 12). 



Le problème de Riemann consiste à déterminer pour les a et les a donnés 

 les A, sous la réserve que les a soient distincts et que les déterminants des 

 substitutions définies par les a soient différents de zéro. C'est du moins le 

 problème de Riemann dans le cas où le système linéaire est du second ordre 

 et le nombre de ses points singuliers égal à ,\ (ce compris). Mais il va sans 

 dire que le même problème peut être posé dans les mêmes termes pour un 

 système linéaire d'ordre m ap pôles a (réguliers). 



Si l'on regarde les i '2a comme des constantes arbitraires, les 12A comme 

 12 fonctions et les a comme des variables indépendantes, les fonctions A 

 des a vérifient un système différentiel algébrique du douzième ordre, ré- 

 ductible (grâce à des intégrales premières algébriques), à une équation du 

 deuxième ordre seulement. C'est là un résultat démontré depuis longtemps 

 parL. Fuchs et à qui M. Schlesinger a donné une forme des plus élégantes. 

 Mais M. Schlesinger a apporté en outre un résultat essentiel, c'est que 

 les fonctions A des a n'auraient que des singularités polaires en dehors des 



valeurs 



a, r= a,» ou «, =: flj, ou a-i^^a^. 



L'importance de ce résultat est considérable. iVIalheureusement, la 

 démonstration de M. Schlesinger, comme l'établissait M. Plemej, ne résis- 

 tait pas à la critique, en sorte que la question restait en suspens. Dans le 

 cas m = 2 et /> := 3 où nous avons énoncé le problème de Riemann, M. R. 

 Fuchs a montré qu'on peut ramener la détermination des fonctions A à 

 l'élude d'une équation du deuxième ordre qui n'est autre que l'équation 

 du premier degré la plus générale à points critiques fixes. Le théorème 

 fondamental de M. Schlesinger se trouvait ainsi vérifié, dans le cas parti 

 culier m = 1, p ^ 5, et dès lors deux voies étaient ouvertes : ou bien 

 déduire, de l'étude rigoureuse du problème de Riemann, la conclusion (jue 

 le système différentiel de M. Schlesinger (pour »? etyj quelconques) a bien 

 ses singularités (non polaires) fixes; ou bien démontrer directement ce 

 dernier résultat à l'aide de la méthode qui avait réussi pour les équations 

 du deuxième ordre, et en déduire la possibilité de résoudre dans tout les 

 cas le problème de Riemann. M. Chazy a choisi la première voie; M. Gar- 

 nier, comme nous le verrons dans un instant, a choisi la seconde. 



C'est la démonstration complète et rigoureuse du théorème fondamental 



