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de M. Schlesinger qui clùr le Mémoire de M. Cliazy : elle découle de la 

 belle et rigoureuse méthode Fredliolmieunc, (jue M. Plemej a appliquée 

 au problème de Riemann. * 



M. W. Garnier s'est occupé, lui aussi, de ladéleruiiualion dirocle des équa- 

 tions du deuxième et du troisième ordre à points crilic[ues fixes, mais sans 

 obtenir d'équations essentiellement nouvelles, et la partie la plus intéres- 

 sante de son Mémoire porte sur le problème de Schlesinger qu'il a abordé 

 du côté équations diffèrcnlieUes au lieu de l'aborder du côté problème 

 de lUernann. Il s'est attaché surtout au cas où le système linéaire ( 8) est du 

 second ordre mais possède un nombre quelconque de pôles simples / = a,, 

 a.^, ...jUp. Considérant, au lieu d'un système tel que (8), une équation 

 linéaire du second ordre, il a formé explicitement, sous une forme très 

 simple et très élégante un système qui équivaut au système différentiel 

 de Schlesinger, système dont l'ordre croît indéfiniment avec n, et il a 

 démontré, par une analyse directe, que ce système a ses points critiques 

 fixes. Celte démonstration est une extension de la méthode relative aux 

 équations du second ordre et du premier degré; elle n'en présentait pas 

 moins de très sérieuses difficultés. M. (iarnier obtient donc ainsi des 

 équations différentielles rf'o/ï//'e «am e'/ew ^m'o/* veut, non intégrables, et 

 dont l'étude directe mel en évidence la fixité des points singuliers. 



Dans le cas général du problème de Schlesinger (m > i>, p quelconque), 

 M. Garnier a amorcé la ([uestion : il a étudié le système simplifié qui se 

 déduit [)ar un procédé connu du système de M. Schlesinger el dont l'inté- 

 grale doit être uniforme si le système a ses points critiques fixes. Ce système 

 simplifié s'intègre à l'aide des fonctions hyperelliptiques à mulliplicateurs, 

 el son élude, bien que n'introduisant pas de transcendantes nouvelles, 

 est digne d'intérêt. 



La dernière partie du travail de M. Garnier compte parmi les plus dignes 

 d'attention. Nous venons de dire que l'équation du second ordre et du pre- 

 mier degré à points critiques fixes la plus générale, soit I"], résout le |tio- 

 blème de Riemann dans le cas (8) : d'où, pour l'intégrale de celte équation, 

 certains développements el propriétés remarquables. Que deviennent ces 

 développements et ces propriétés lorsque les pôles / = a, , / = «„, . . ., des 

 seconds membres de (8) viennent se confondre, et par suite, quand ces 

 [)ôles cessent d'être réguliers au sens de L. Fuchs pour le système 

 linéaire (8)"? L'équation du second ordre à points critiques fixes correspon- 

 dante est alors une dégénérescence de l'équation (Iv), équation qui se sinx- 

 plifie de plus en plus à mesure (|ue les jjoinls (7,, a.,, a,, ce se confondent 



