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il est encore arrivé ici à des résultats de la plus haute importance. Au point 

 de vue extrêmement général où se place l'auteur, les énoncés ont parfois 

 une forme très différente de celle qu'on rencontre dans la géométrie clas- 

 sique des surfaces; ainsi, il existe des surfaces applicables sur le plan qui 

 ne sont pas réglées. Les vues de M. Lebesgue ont aussi conduit à envisager 

 sous un nouveau jour la théorie des surfaces minima, et la façon dont il 

 étudie le célèbre problème de Plateau doit être rappelée. Pour une courbe 

 fermée C, il existe une surface passant par C et ayant pour aire la plus petite 

 limite des aires des surfaces polyédrales dont les frontières tendent vers C. 

 Cette surface ne satisfait pas nécessairement à l'équation classique des sur- 

 faces minima, mais elle n'en constitue pas moins une solution du problème 

 du minimum. 



Les travaux de \L Lebesgue sur les intégrales renouvelaient en quelque 

 sorte les bases du calcul intégral, mais on pouvait craindre que ces spécu- 

 lations, d'un si grand intérêt théorique, restassent sans applications dans 

 les problèmes usuels de l'Analyse mathématique. M. Lebesgue s'est chargé 

 d'abord lui-même de montrer que ces craintes n'étaient pas fondées. Une 

 théorie classique en Analyse et en Physique mathématique, celle des séries 

 de Fourier, a fait l'objet de ses recherches, et les idées nouvelles ont montré 

 leur fécondité. L'emploi de l'intégration des fonctions sommables, surtout 

 par les formes de raisonnement qu'il suggère, loin de conduire à des com- 

 plications nouvelles, permet d'apporter d'heureuses simplifications à la 

 théorie ordinaire. M. Lebesgue obtient un critère de convergence qui con- 

 tient tous les critères connus. On lui doit aussi la démonstration de ce 

 théorème que toutes les séries trigonométriques (|ui convergent vers une 

 fonction bornée rentrent dans la classe des séries de Faurier, les coefficients 

 de ces séries étant des intégrales au sens généralisé du mot, et non nécessai- 

 rement des intégrales au sens de Riemann. Signalons encore un fait remar- 

 quable découvert par M. Lebesgue. Du Bois-Reymond avait prouvé qu'il 

 existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge; M. Lebesgue 

 a montré qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier est 

 partout convergente mais ne converge pas uniformément. L'existence de 

 ces cas singuliers est rattachée par M. Lebesgue à un fait général concer- 

 nant les intégrales dites singulières, dont il a fait une étude approfondie. 



Entre temps, les idées de M. Lebesgue se répandaient, et de nombreux 

 Mémoires, dus à des géomètres français et étrangers, venaient de plus en 

 plus montrer leur intérêt. On pourrait citer notamment des théorèmes 

 extrêmement importants sur les séries de fonctions orthogonales, dont 



